Расчет тарифных ставок по основным видам страховых покрытий
Важным моментом при определении тарифной ставки является правильное составление уравнения эквивалентности обязательств страховщика и страхователя. Данное уравнение отражает следующий принцип: ожидаемая современная стоимость будущих выплат, производимых страховщиком, должна быть равна ожидаемой современной стоимости будущих взносов, уплачиваемых страхователем. По-другому: с клиента на покрытие страхового риска следует взять ровно столько денег, во сколько оценивается этот конкретный страховой риск. Так формируется нетто-ставка (нетто-тариф).
Добавляя к нетто-ставке нагрузку, получаем брутто-ставку. Нагрузка включает в себя расходы по обслуживанию договора страхования и комиссионное вознаграждение агенту.
Для дальнейших расчетов нам понадобятся следующие обозначения:
x — возраст застрахованного лица на момент заключения договора страхования;
iv — предельный возраст в таблице смертности; п — срок страхования;
Р — нетто-ставка (иногда нетто-премия, нетто-взнос);
G — брутто-ставка (иногда брутто-премия, брутто-взнос);
/— нагрузка в составе брутто-ставки (нагрузка к нетто- ставке);
S — страховая сумма согласно договору страхования. Необходимо ввести некоторые допущения:
- • выплаты производятся в конце того страхового года, когда наступил страховой случай;
- • премия (взносы) уплачиваются в начале страхового года;
- • если взносы страхователя регулярные, то они уплачиваются раз в год;
- • срок страхования равен целому числу лет. Предполагается, что все формулы для элементарных типов
выплат изучены читателем в курсе актуарной математики и известны ему.
Страхование на случай смерти.
Случай 1. Страховая сумма постоянна. Единовременная единичная нетто-ставка обозначается д! и рассчитывается следующим образом:
Применяем уравнение эквивалентности обязательств страховщика и страхователя:
• для единовременной формы оплаты — страхователь при заключении договора уплачивает нетто-премию Р один раз; ожидаемая современная стоимость выплат по смерти составляет Таким образом, уравнение эквивалентности имеет
вид р = Л* Это и есть нетто-ставка;
• для регулярной формы оплаты — ожидаемая современная стоимость взносов страхователя составляет Рах_^, где ах.д — сроч-
п-1
ный единичный аннуитет пренумерандо, а^ -| = ? х; рх х vK Ожи-
хп j=о
даемая современная стоимость выплат, как и в предыдущем случае, Ах.^.
Таким образом, уравнение эквивалентности имеет вид
д1
Рах.^ = А.-п, откуда нетто-ставка Р = ?.
Случай 2. Страховая сумма увеличивается: во второй страховой год удваивается, в третий страховой год — утраивается, и т. д. Единовременная единичная нетто-ставка обозначается (М)1 и рассчитывается следующим образом 1 П-1
(1А)х^= Y, (j + l)xqx+j Xj рх х W+1. Нетто-ставка для единовре-
)=о .
/ 1 (М)
менного взноса Р = (М)^, для регулярных взносов Р = х п| —
вывод формулы по аналогии со случаем 1.
Случай 3. Страховая сумма равномерно уменьшается. Единовременная единичная нетто-ставка обозначается (DA)1.^ и рассчитывается следующим образом:
где 1-— соответствует равномерному уменьшению страховой П 1
суммы на — в год. Тогда нетто-ставка для единовременного
, , j (DA)1
взноса Р = (DA)x.^|, для регулярных взносов Р =-—.
Пожизненное страхование.
Единовременная нетто-ставка обозначается Ах. Формула для единовременной нетто-ставки такая же, как и для единовременной нетто-ставки для страхования на случай смерти с постоянной страховой суммой, только суммирование ведется не до п — 1, а до конца таблицы
W-X
смертности Ах= Y, Чх+j xj Рх х v;+1- i=о
Для единовременного взноса Р = Ах. Для регулярной формы оплаты возможны два варианта: ^
• взносы уплачиваются пожизненно, тогда Р = —, где
ах
ах — пожизненный единичный аннуитет пренумерандо,
IV-X
ах = I xjpxxvi;
)=о
• взносы уплачиваются в течение срока, меньшего, чем
_ Аг
период страхования, тогда Р=-^-?~, где к — установленный
ахЛ
договором страхования период уплаты взносов.
Страхование на дожитие. Единовременная единичная нетто ставка обозначается пЕх и рассчитывается как пЕх =„ рх х v'!. Таким образом, для единовременного взноса
?
Р =п Ех, для регулярной уплаты взносов Р = JLJL.
а**1
Смешанное страхование жизни. Единовременная единичная нетто-ставка обозначается Ах.^ и рассчитывается как Ах,^ =п Ех + А* что следует из сути страхового покрытия.
Для единовременного взноса Р = А -ъ для регулярных взно- сов Р = *:п. Заметим, что в данном случае страховая сумма
по дожитию и страховая сумма по смерти равны. Для варианта покрытия с различающимися страховыми суммами необходимо учитывать страховые суммы (либо соотношение между ними) непосредственно в формуле.
Страхование к сроку. Выплату страховщик производит в любом случае, независимо от момента смерти. Следовательно, вероятности смерти в расчете не участвуют. Выплата производится в конце срока страхования, значит, ее ожидаемая современная стоимость равна v'! для единичной страховой суммы. Нетто-ставка для единовременного взноса Р — vn.
Для регулярной формы оплаты поступление каждого следующего взноса зависит от того, жив страхователь или нет. Следовательно, ожидаемая современная стоимость взносов Ра ->
где ? ^ рассчитывается для страхователя, а не для застрахован-
v'!
ного лица. Тогда нетто-ставка Р=-.
Й*Й1
Замечание: договоры с единовременной формой оплаты для данного вида страхования российскими страховыми компаниями не применяются, ввиду отсутствия факторов вероятности и случайности. Такая программа страхования по сути является банковским депозитом.
Семейное страхование. Ожидаемая современная стоимость выплат равна d^-й где dr^ — финансовый аннуитет пренумерандо.
Замечание: если при расчете аннуитета применяются вероятностные характеристики дожития, то аннуитет страховой. Если
х „ .. 1-(1 + 0'П^.Л 1-V
не применяются — финансовый: а^ =——:—-—(1 +1) = —;—.
Тогда единовременная нетто-ставка р = а^-ад..^- Регулярная d-i— d
нетто-ставка Р = —щ——.
*хЯ1
Страхование пенсии и ренты. Для данного вида страховых программ (его описание см. выше) можно сконструировать много вариантов договоров страхования. Математический аппарат здесь не отличается сложностью, но требует отдельного описания. Оно будет представлено в параграфе 6.1.
