Принципы формирования страховых резервов

Перейдем непосредственно к формированию актуарного резерва — основного вида резервов в долгосрочном страховании жизни. Рассмотрим пример. Страхователь в возрасте х заключает договор страхования на дожитие сроком на п лет. Взнос единовременный. Нетто-ставку обозначим Р0 и определим как Р0 = пЕх.

Теперь представим, что ровно через год приходит тот же самый страхователь и хочет заключить еще один договор так, чтобы он заканчивал свое действие одновременно с первым. Возраст страхователя для нового договора уже не х, а х + 1. Срок страхования не п лет, а п - 1. Нетто-ставку обозначим Ра и она составит Рг = п_гЕх + v Очевидно, что при увеличении возраста и сокращении срока страхования страхователю необходимо уплатить больший взнос, поэтому Р, > Р0.

Пусть проходит еще один год, и страхователь является за новым договором с условием, что он должен завершаться одновременно с предыдущими двумя. Нетрудно догадаться, что нетто-ставка Р2 = „ _ 2ЕХ + 2 и Р2 > Р].

Представим это на схеме (рис. 2.3).

Далее можно продолжать до момента окончания всех договоров страхования. Получаем последовательность нетто-ста- вок в каждый момент времени t между моментами Оип — началом и окончанием первого договора страхования. Данную последовательность можно представить в виде рис. 2.4.

Мы помним, что нетто-ставка (нетто-взнос, если применяется страховая сумма) отражает сумму средств, которые необходимо получить от страхователя при заключении договора страхования, чтобы впоследствии иметь возможность исполнять перед ним финансовые обязательства, а именно ожидаемую современную стоимость будущих выплат. Исходя из этого принципа, каждый год мы рассчитываем страхователю по каждому из его договоров пЕх, „_ ЕХ + ь п_2ЕХ + 2> Собрав указанные нетто-ставки в единую последовательность и разместив на единой оси времени, мы видим, что элементы последовательности отражают размер средств в каждом страховом году, необходимый для осуществления будущей выплаты по дожитию. Вспоминая определение страховых резервов и пояснения к нему, приходим к выводу, что наша последовательность не что иное, как математический резерв.

Три договора страхования на дожитие для страхователя в возрасте х, х + 1 и х + 2, со сроками страхования п, п - 1, л - 2 соответственно

Рис. 2.3. Три договора страхования на дожитие для страхователя в возрасте х, х + 1 и х + 2, со сроками страхования п, п - 1, л - 2 соответственно

ные. 2.4. Последовательность нетто-ставок для договоров страхования на дожитие. Возраст страхователя х е [х, х + л]. Срок страхования п е [0, л]

Для численной иллюстрации примера на рисунке представлен расчет величин пЕх, п_ 1ЕХ + г, п_ 2ЕХ + 2, ... (т. е. изменение математического резерва в зависимости от года страхования) для застрахованного в возрасте 35 лет, договора страхования сроком на 10 лет и страховой суммы 100 000 руб.

Из представленных логических выкладок, формул и рис. 2.5 можно сделать важный вывод: для договоров с единовременной уплатой взноса математический резерв в момент 0 в точности равен нетто-взносу, а в момент п математический резерв в точности равен страховой сумме.

Изменение математического резерва в зависимости от года страхования для договора с единовременным взносом

Рис. 2.5. Изменение математического резерва в зависимости от года страхования для договора с единовременным взносом

Рассмотрим пример для случая уплаты взносов в рассрочку. Применим тот же самый принцип, что и для договора с единовременным взносом. Застрахованный в возрасте х заключает договор страхования на срок п лет, затем последовательно заключает еще несколько договоров с интервалом в один год. Все договоры заканчиваются в одну и ту же дату.

?

Итак, в первый год страхования имеем нетто-ставку Р0 - п_ х ,

а ~

х:п I

и очевидно, что пЕх0 а -г = 0. Ставку по договору № 2 обозна-

?

чим Рj. Рассчитываться она будет как Ра = ”~г *+1, и при этом

ал-+1:^Й1

Pj > Р0 ввиду того, что срок договора страхования сокращается на один год по сравнению с договором №1 и застрахованный становится на год старше.

Теперь рассмотрим выражение п_г Ех+1 - Р0 йА.+1,—j-j. Эта разность будет больше нуля, так как пх+1>пЕх (см. пример для единовременного взноса), < йх.^ (дисконтирование

взносов на один год меньше, следовательно, в ^ на одно слагаемое меньше, чем в й^), а пЕх0ах,-1=0. Таким образом, если бы страховщик решил для договора № 2 использовать взнос Р0 из договора № 1, то у него при заключении договора № 2 уже заранее должны быть накоплены некоторые средства, чтобы впоследствии обеспечить будущие выплаты застрахованному. Если использовать взнос Р0 и не иметь созданных заранее накоплений, то баланс обязательств страховщика и страхователя будет нарушен.

Разница n_,Ex+t-P0a -^ будет увеличиваться с каждым страховым годом f и составит последовательность значений, экономический смысл которых уже описан выше — это средства, необходимые страховщику в каждый момент времени для исполнения своих обязательств, математический резерв. На рис. 2.6 показано постепенное изменение математического резерва для договора страхования с уплатой взносов раз в год, срок страхования 10 лет, страховая сумма 100 000 руб., застрахованный в возрасте 35 лет.

Изменение математического резерва в зависимости от года страхования для договора с рассроченными взносами

Рис. 2.6. Изменение математического резерва в зависимости от года страхования для договора с рассроченными взносами

По аналогии с договором страхования с единовременным взносом делаем выводы относительно величины резерва на момент начала и окончания договора страхования:

  • • на момент 0 математический резерв равен точно 0;
  • • на момент п математический резерв равен точно страховой сумме.

Далее будут отдельно описаны случаи, когда указанные закономерности не выполняются.

В актуарной литературе математический резерв имеет специальное обозначение tV. Формулы для наиболее распространенных типов страховых покрытий имеют следующий вид:

• страхование на дожитие:

tV =n-t^x+t Для единовременного взноса, tV=n-tEx+t-Pax+t—i для годовых взносов;

• страхование жизни на срок (на случай смерти):

= ^ для единовременного взноса,

,v = - Pax+t} для годовых взносов;

• смешанное страхование жизни (страховые суммы по дожитию и по случаям смерти одинаковы):

t V = Ax+r^| для единовременного взноса,

tV = Ax+t:n^ -Pax+t—i для годовых взносов.

В качестве примера сделаем расчет математического резерва для смешанного страхования жизни и страхования жизни на срок. Застрахованный: мужчина, 35 лет, срок страхования 15 лет. Страховая сумма 1 000 000 руб. РФ. Норма доходности 4 % годовых. Расчет для смешанного страхования жизни представлен в табл. 2.1, для страхования жизни на срок — в табл. 2.2.

На рис. 2.7 математический резерв представлен графически.

Математический резерв для смешанного страхования

Рис. 2.7. Математический резерв для смешанного страхования

жизни

Расчет математического резерва для смешанного страхования жизни

a

Р=0,051880

Страховая сумма = 1

Страховая сумма = = 1 000 000 руб. РФ

Мх

Nx

Ас

Ах:п1

tV единовр.

tV расср.

tV единовр.

IV расср.

0

73 354

4 074 404

230 062

0,574266

11,069073

0,574266

0,000000

574 266

0

1

72 153

3 844 342

220 012

0,595038

10,529008

0,595038

0,048790

595 038

48 790

2

70 956

3 624 330

210 353

0,616670

9,966579

0,616670

0,099601

616 670

99 601

3

69 872

3 413 977

201 178

0,639404

9,375495

0,639404

0,153001

639 404

153 001

4

68 612

3 212 799

192 181

0,662785

8,767592

0,662785

0,207920

662 785

207 920

5

67 468

3 020 617

183 646

0,687361

8,128612

0,687361

0,265647

687 361

265 647

6

66 128

2 836 971

175 242

0,712675

7,470457

0,712675

0,325105

712 675

325 105

7

64 864

2 661 729

167 239

0,739226

6,780126

0,739226

0,387471

739 226

387 471

8

63 570

2 494 490

159 512

0,766919

6,060115

0,766919

0,452518

766 919

452 518

9

62 025

2 334 978

151 832

0,795536

5,316053

0,795536

0,519738

795 536

519 738

10

60 627

2 183 146

144 594

0,825688

4,532112

0,825688

0,590561

825 688

590 561

11

59 163

2 038 552

137 569

0,857212

3,712489

0,857212

0,664607

857 212

664 607

12

57 665

1 900 983

130 780

0,890258

2,853288

0,890258

0,742229

890 258

742 229

13

56 236

1 770 203

124 320

0,925016

1,949587

0,925016

0,823871

925 016

823 871

14

54 750

1 645 883

118 053

0,961538

1,000000

0,961538

0,909658

961 538

909 658

15

53 212

1 527 830

111 974

1,000000

0,000000

1,000000

1,000000

1 000 000

1 000 000

Расчет математического резерва для страхования жизни на срок

ес

?

Р=0,007910

Страховая сумма = 1

Страховая сумма = = 1 000 000 руб. РФ

Мх

Nx

Dx

A*:S1

dx:^l

tV единовр.

tV расср.

tV единовр.

tV расср.

о

73 354

4 074 404

230 062

0,087553

11,069073

0,087553

0,000000

87 553

0

1

72 153

3 844 342

220 012

0,086093

10,529008

0,086093

0,002811

86 093

2811

2

70 956

3 624 330

210 353

0,084354

9,966579

0,084354

0,005521

84 354

5521

3

69 872

3 413 977

201 178

0,082812

9,375495

0,082812

0,008654

82 812

8654

4

68 612

3 212 799

192 181

0,080136

8,767592

0,080136

0,010787

80 136

10 787

5

67 468

3 020 617

183 646

0,077632

8,128612

0,077632

0,013337

77 632

13 337

6

66 128

2 836 971

175 242

0,073706

7,470457

0,073706

0,014618

73 706

14 618

7

64 864

2 661 729

167 239

0,069677

6,780126

0,069677

0,016049

69 677

16 049

8

63 570

2 494 490

159 512

0,064937

6,060115

0,064937

0,017004

64 937

17 004

9

62 025

2 334 978

151 832

0,058049

5,316053

0,058049

0,016001

58 049

16 001

10

60 627

2 183 146

144 594

0,051282

4,532112

0,051282

0,015435

51 282

15 435

11

59 163

2 038 552

137 569

0,043259

3,712489

0,043259

0,013895

43 259

13 895

12

57 665

1 900 983

130 780

0,034055

2,853288

0,034055

0,011487

34 055

11 487

13

56 236

1 770 203

124 320

0,024324

1,949587

0,024324

0,008903

24 324

8903

14

54 750

1 645 883

118 053

0,013029

1,000000

0,013029

0,005119

13 029

5 119

15

53 212

1 527 830

111 974

0,000000

0,000000

0,000000

0,000000

0

0

Для наглядности на рис. 2.8 дано графическое представление математического резерва для страхования жизни на срок.

Математический резерв для страхования жизни на срок

Рис. 2.8. Математический резерв для страхования жизни на срок

На основе полученных расчетов и графических представлений резервов можно сделать следующие наблюдения:

  • • для смешанного страхования жизни:
    • — при единовременном взносе резерв начинается из нетто- взноса, постепенно растет и к концу срока страхования становится равным страховой сумме,
    • — при рассроченных взносах резерв начинается из нуля, постепенно растет и к концу срока страхования становится равным страховой сумме;
  • • для страхования жизни на срок:
  • — при единовременном взносе резерв начинается из нетто- взноса, постепенно снижается и к концу срока страхования становится равным нулю,
  • — при рассроченных взносах резерв начинается из нуля, постепенно растет, затем постепенно снижается и к концу срока страхования становится равным нулю.

Поведение математического резерва для обеих программ закономерно. Смешанное страхование жизни относится к накопительным программам. Оно предусматривает дожитие застрахованного до конца срока страхования и крупную выплату по окончании договора. Поэтому резерв всегда большой, возрастает и должен достигать размера страховой суммы. Ранее такой сценарий развития математического резерва мы видели на примере страхования на дожитие. Описанное поведение резерва характерно для всех программ страхования, предусматривающих дожитие застрахованного лица до конца срока страхования.

Страхование жизни на срок не содержит в своей структуре риск «Дожитие» и относится к рисковым программам. Здесь нет необходимости держать резервы большого размера, так как страхуется только риск смерти. Если застрахованное лицо доживает до конца срока договора, то никакой выплаты не производится, поэтому резерв становится равным нулю. При этом в договоре с единовременным взносом резерв постепенно амортизируется до нуля, а договоре с рассроченным взносом резерв сначала накапливается (поступают взносы), потом с истечением договора также амортизируется до нуля.

По другим видам страховых покрытий, не рассмотренным в данном параграфе, получить формулы для расчета математического резерва предлагается самостоятельно на основе нижеследующего примера, демонстрирующего подходы к выводу формул.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >