УСРЕДНЕННЫЕ И ЦИКЛИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАМИРОВАНИЯ

Целый ряд постановок экстремальных задач содержит наряду с векторными и функциональными переменными их средние значения или средние значения функций, зависящих от этих переменных. Задачу с усреднением можно рассматривать как расширение экстремальной задачи. Здесь мы сопоставим этот способ с другими способами расширения для задачи нелинейного программирования.

Рассмотрим в качестве исходной задачу

искомым решением которой является вектор х е D с V с I".

Пусть из элементов множества V может быть произведена выборка с использованием случайного механизма. Плотность распределения Р(х) этой выборки требуется найти. Оценка выбранной функции Р(х) (вероятностной меры) может быть произведена по некоторому критерию. В частности, Р(х) можно выбирать по условию максимума функции/от среднего по ансамблю значениях. В этом случае задача примет форму

при условиях

Другой способ оценки плотности распределения — среднее значение функции/на множестве решений

при тех же условиях (3.3).

В некоторых задачах не требуется, чтобы каждый элемент выбранных решений принадлежал D. Достаточно, чтобы, например, среднее значение принадлежало D:

Если задача (3.1) выпукла и ее оптимальное решение равно х*, то оптимальные распределения Р*(л:) в задачах (3.2), (3.4) совпадают. При этом

где 5 — функция Дирака. Значения этих трех задач также одинаковы. В общем же случае значение задачи (3.1) не превосходит значения каждой из задач (3.2), (3.4).

Множество допустимых решений задач (3.2), (3.4) не принадлежат пространству Мп, тем не менее согласно определению расширения, приведенному выше, каждая из задач (3.2), (3.4) является расширением для задачи (3.1).

Действительно, в соответствии с этим определением можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами х множества D задачи (8.1) и множеством плотностей распределения D1 вида

Каждому вектору х0 е D соответствует распределение вида PXQ (х) и обратно, причем значения/(х) в (3.1), /(х) в (3.2) и /(х) в (3.4) на соответствующих элементах решений совпадают, так что задача (3.1) принадлежит классу эквивалентности задач (3.2), (3.4), в которых множество допустимых решений ограничено решениями, имеющими вид (3.6), а х* берется из множества D.

Задачи (3.2) и (3.4), в которых Р(х) удовлетворяет только условиям (3.3), (3.5), являются расширением для задач с решениями вида (3.6), а значит, и для задачи (3.1).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >