ЛИНЕЙНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА В ЗАДАЧАХ ХИМИИ И ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

Уравнения сохранения

Неравновесная термодинамика, в отличие от равновесной, базируется на теории поля. В качестве аппарата теории поля рассмотрим механику гетерогенных сред. Введем основные допущения для построения математического описания процессов с фазовыми переходами, химическими реакциями, происходящими в полидисперс- ных гетерогенных средах.

Рассмотрим многофазную полидисперсную среду, где первая фаза (сплошная несущая) — газ или жидкость, г — фаза включений частиц, капель или пузырьков, размеры (объемы) которых изменяются от (г - dr) до (г + dr). Движение смеси будем изучать при следующем допущении: расстояния, на которых параметры течения смеси меняются существенно (вне поверхности разрыва), много больше размеров включений и расстояний между ними [1, 2].

Введем средние плотности в каждой точке объема, занятого смесью:

где р — плотность смеси; р°, р; — истинная и средняя плотность фаз соответственно; R — наибольший размер (объем) включения; индекс 1 соотносится с несущей сплошной фазой, индекс 2 — с дисперсной (гетерогенной) фазой; а, — объемные содержания фаз; а2 — объемное содержание дисперсной (гетерогенной) фазы.

Необходимость введения средних плотностей заключается в том, что в отличие от гомогенной смеси, где каждый компонент может рассматриваться как занимающий весь объем смеси равномерно с другими компонентами, в гетерогенной смеси каждая фаза занимает лишь часть объема смеси.

Дисперсность гетерогенной фазы характеризуется функцией/(г), так что/(r)dr — число включений в единице объема смеси, размеры (объемы) которых составляют от г до г + dr. В каждой из r-фаз размеры (объемы) остаются постоянными, меняется только их число.

На основании допущения можно принять, что несущая фаза и все г-фазы — континуумы, заполняющие один и тот же объем и имеющие свою плотность, массу, скорость, температуру. Введение многоскоростного континуума необходимо, так как скорости относительного движения фаз в смеси по порядку могут быть равны скоростям их абсолютного движения.

Первую фазу будем описывать моделью вязкой жидкости. В качестве тензоров поверхностных сил а1, а|г и тензоров вязких напряжений х1 примем [3]

где Рг — давление; Ьк1 — символ Кронекера; X, цх — коэффициенты вязкости; v(- — скорость i-й фазы; ekl — тензор скоростей деформаций несущей фазы.

Введя основные допущения, перейдем к математическому описанию поведения химико-технологических процессов (массообменных процессов кристаллизации, сушки, экстракции, ректификации), происходящих в полидисперсных средах в рамках многоскоростной модели.

Вначале запишем уравнения сохранения массы, импульса, энергии с учетом фазовых переходов на включениях [1]. Такая система уравнений пригодна для математического описания процессов кристаллизации, сушки, экстракции, ректификации:

где V], v2 — средние массовые скорости несущей и r-фаз; R — максимальный размер (объем) включений; р2 = const; г — наблюдаемая скорость изменения размера (объема) включения; Р — давление;

^12 — сила взаимодействия между несущей и r-фазами, обусловленная главным образом действием вязких сил при взаимодействии между фазами; F1} F2 — массовые силы, действующие на несущую и r-фазу соответственно; иг, и2 — удельные внутренние энергии несущей и r-фазы; иа — поверхностная энергия, приходящаяся на одно включение; qla, q2a — потоки тепла (не связанные с фазовыми переходами), отнесенные к единице объема смеси от несущей и r-фаз к поверхности раздела фаз соответственно; p(Q;* — мощность объемного источника тепла в i-фазе; ib i2 — энтальпии несущей и r-фазы соответственно; с — концентрация реагирующего компонента в несущей фазе.

Первое уравнение в системе (1.3) — уравнение сохранения массы несущей фазы; член в правой его части отражает влияние фазового перехода на включениях.

Второе уравнение — уравнение баланса числа включений с учетом изменения объема включения за счет фазового перехода.

Третье и четвертое уравнения описывают движение сплошной и r-фаз. Первое слагаемое в правых частях этих уравнений характеризует влияние поверхностных сил, действующих на каждую фазу. Член, содержащий силу взаимодействия f12, определяет влияние сил трения на движение несущей и r-фазы соответственно. Слагаемое, содержащее Fj (i = 1, 2), отображает воздействие массовых сил на изменение импульса несущей фазы и включения соответственно. Четвертое слагаемое в уравнении движения несущей фазы, представляет изменение импульса несущей фазы за счет фазового превращения.

Пятое, шестое, седьмое уравнения отражают изменения внутренней энергии несущей и r-фаз, поверхностной энергии поверхности раздела включения размера (объема) г. Первое слагаемое в правой части в пятом и шестом уравнениях, представляет обратимую работу сжатия материала соответствующей фазы.

В пятом уравнении второе и третье слагаемые представляют переход кинетической энергии во внутреннюю энергию за счет вязкостного взаимодействия как в самой несущей фазе, так и при взаимодействии с включениями. Четвертое слагаемое в пятом уравнении, характеризует переход во внутреннюю энергию части кинетической энергии вследствие неравновесного обмена импульсом при фазовых превращениях, происходящих при неравных скоростях фаз. Пятое, шестое, седьмое слагаемые характеризуют изменение внутренней энергии сплошной фазы за счет теплообмена с поверхностью раздела фаз, теплопереноса в сплошной фазе путем теплопроводности, наличия источника тепла.

Второе и третье слагаемые в правой части шестого уравнения, отражают изменение внутренней энергии r-фазы за счет теплообмена с поверхностью раздела фаз, наличия источника тепла.

Седьмое уравнение описывает изменение внутренней энергии поверхности раздела фаз (сплошной и r-фазы) за счет теплообмена со сплошной фазой (первое слагаемое в правой части уравнения), теплообмена с r-фазой (второе слагаемое), притока (оттока) тепла к поверхности раздела фаз за счет фазового превращения, т. е. роль источника (стока) тепла, необходимого для фазового превращения, принадлежит поверхности раздела фаз.

Восьмое уравнение — уравнение сохранения реагирующего компонента в несущей фазе.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >