ВВЕДЕНИЕ В КАЧЕСТВЕННУЮ ТЕОРИЮ И ТЕОРИЮ БИФУРКАЦИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ (ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ХИМИИ И ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ)

В последние годы накопилось много примеров физических и химических систем, в которых из хаотических состояний возникают высокоупорядоченные пространственные, временные или пространственно-временные структуры [1]. Явление динамического хаоса в настоящее время обнаруживают практически во всех областях знаний, где возможно математическое моделирование, ему посвящено огромное число научных статей, книг и отдельных международных журналов, таких как Chaos. Само явление хаоса мы будем рассматривать ниже (в главе 4), здесь же будет представлено введение в качественную теорию и теорию бифуркаций динамических систем, составляющих основу языка, на котором говорят современные специалисты по хаотической динамике в различных областях знаний.

Итак, в главе 2 мы рассмотрели термодинамический подход, который позволяет выявить причины явлений самоорганизации, но не может предсказать сценарий, т. е. пути развития, самоорганизующегося процесса. В настоящей главе представлен математический аппа-рат, необходимый для описания сценария перехода к новым упорядоченным состояниям1.

Линейные системы

Фазовые портреты

Математические модели физико-химических систем, как правило, записываются в виде уравнений. Рассмотрим вначале систему п обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):

При написании данной главы использовались материалы работ [1—13].

которые мы будем записывать также в векторной форме:

Векторное поле в правой части равенства (3.2) определено на пространстве или на его части. Независимую переменную, которой обычно является время, будем обозначать буквой ?; кроме того, используем обозначения х' = dx,- / dt, i = 1, 2, ..., п. Решением системы (3.1) является совокупность функций

которые удовлетворяют исходным уравнениям (3.1). Решение (3.3) можно записать в векторной форме:

Уравнения

представляют собой параметрические уравнения кривой в эвклидовом пространстве (Кп)- Эту кривую будем называть траекторией системы ОДУ: она дает наглядное представление о поведении соответствующего решения.

Множество всех траекторий системы (3.1) образует в Яп-фазовый портрет системы.

С помощью дифференциальных уравнений можно описывать реальные системы и их изменение во времени. С помощью совокупности ОДУ можно описывать эволюцию системы, состояние которой в каждый момент времени определяется набором из п вещественных чисел, т. е. его состояние можно отождествить с некоторой точкой х е R. В этом контексте можно говорить о пространстве как о пространстве состояний (множестве всех возможных состояний данной реальной системы). При этом векторное поле (3.2) понимается как сила, определяющая направление эволюции исследуемой системы. Эволюция изображается движением фазовой точки по соответствующей траектории.

Состояние системы в момент времени t зависит не только от указанного момента, но и от исходного состояния системы, т. е. от состояния, в котором система находилась в момент времени t - 0:

Соотношение (3.5) — начальное условие для решения системы (3.2). Решение, которое удовлетворяет этому условию, будет

Таким образом, решение (3.6) удовлетворяет соотношению ф(0, х0) = х0 или соответственно cpXo(0) = x0. Функция (p(t, х), рассматриваемая как функция двух переменных t е Яих е Rn, называется фазовым, потоком системы (3.1).

Рассмотрим случай п = 1. Уравнение

моделирует, например, рост популяции х некоторого вида микроорганизмов. В рамках этой модели состояние вида в момент времени t задается количеством бактерий х. Мы можем изобразить состояние нашей модели x(t) в любой момент времени t точкой на фазовой прямой уравнения х = /(х). Со временем состояние системы изменяется, и изображающая это состояние точка движется по фазовой прямой со скоростью / (х). Таким образом, динамика исследуемой системы представляется движением фазовой точки по фазовой прямой.

Фазовый портрет фиксирует только направление скорости фазовой точки и, следовательно, отражает лишь качественную картину динамики. Такая качественная информация может оказаться полезной при построении моделей.

Заметим, что х > О для всех х > 0 (уравнения х = ах) и фазовый портрет на рис. 3.1 показывает, что популяция растет неограниченно. Это малоправдоподобно, поскольку среда, в которой живет этот вид, обычно имеет ограничения и не может обеспечить ресурсами неограниченно растущую популяцию.

Фазовый портрет при неограниченном росте популяции

Рис. 3.1. Фазовый портрет при неограниченном росте популяции

Предположим, что окружающая среда может обеспечить существование популяции х. Как надо изменить уравнение (3.7) с учетом этого обстоятельства? Один из возможных вариантов — ввести на фазовом портрете рис. 3.2 точку х = хс. Это значит, что популяции, большие хс, уменьшаются; популяции, меньшие хс, растут, а равновесие достигается при х = хс: Фазовый портрет при росте популяции с ограничениями

Рис. 3.2. Фазовый портрет при росте популяции с ограничениями

При Ъ - 0 уравнение (3.8) сводится к (3.7), при х - а/Ъ = хс уравнение (3.8) имеет неподвижную точку хс.

Рассмотрим случай п = 2. Система уравнений имеет вид

начальные условия:

Фазовая плоскость для системы (3.9)

Рис. 3.3. Фазовая плоскость для системы (3.9)

Фазовый портрет системы (3.9)

Рис. 3.4. Фазовый портрет системы (3.9)

Фазовая плоскость для системы (3.9) представлена на рис. 3.3, фазовый портрет — на рис. 3.4. Фазовый портрет характеризует поведение решения уравнений (3.9), (3.10) с указанием направления движения. Стрелка на рис. 3.4 характеризует направление при

t —» оо.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >