ФРАКТАЛЫ В ХИМИИ И ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

В предыдущих главах были рассмотрены примеры систем, демонстрирующих сложное поведение во времени, но обладающих однородным пространственным строением. В то же время значительный интерес для химии и химической технологии представляют сложные пространственные структуры, возникающие в таких процессах, как кристаллизация (рост дендритов), формирование коллоидных агрегатов и образование шероховатых поверхностей. В настоящее время общепринятой является следующая точка зрения: наиболее эффективно задача описания сложных пространственных структур может быть решена при использовании подходов фрактальной геометрии [1].

Неспециалисты также наверняка встречались с фракталами в повседневной жизни. Снежинка, крона дерева, кровеносная система — все это примеры фрактальных объектов, главной чертой которых является самоподобие. Иначе говоря, фрактальные объекты выглядят одинаковым образом при различных масштабах наблюдения. В этой главе мы рассмотрим основные положения теории фракталов и проанализируем ее возможное применение для описания строения и свойств ряда физико-химических систем.

Основные понятия теории фракталов

Многие сложные структуры, представляющие интерес для науки и техники, могут быть количественно описаны в рамках концепции фрактальной размерности — величины, которая характеризует геометрическое строение стохастических объектов. Современные достижения в этой области связаны с тем, что большинство стохастических природных структур обладают так называемой скейлин- говой симметрией. Наличие этого типа симметрии подразумевает, что система обладает масштабной инвариантностью, т. е. выглядит одинаково при различных увеличениях.

Понятие «размерность».

Перед тем, как дать определение фрактальной размерности, имеет смысл обсудить само понятие «размерность». Интуитивно ясно, что размерности прямой и плоскости равны соответственно 1 и 2 и что мы живем в трехмерном мире. В физике часто добавляют ось времени и рассматривают четырехмерное пространство. Все эти размерности совпадают с числом степеней свободы, т. е. с числом независимых переменных, необходимых для описания положения точки в рассматриваемом пространстве. Очевидно, что такой подход позволяет рассматривать гиперпространства со сколь угодно большим (вплоть до °°), но обязательно целым и неотрицательным значением размерности D. Так, например, стандартным приемом в статистической физике является замена рассмотрения движения т частиц в 6-мерном ц-пространстве (в нем каждой точке соответствует 3 координаты х, у и z и 3 составляющих импульса рх, ру и р2) на рассмотрение движения одной частицы в бт-мерном Г-пространстве (при применении такого подхода к описанию движения молекул одного моля идеального газа размерность Г-пространства оказывается довольно внушительной: 3,6 • 1024!).

Определение размерности через число степеней свободы кажется весьма естественным; однако, оно, во-первых, базируется на чисто эмпирических представлениях, а во-вторых, в ряде случаев его применение может привести к существенным математическим противоречиям. Последние, в силу их специального характера, не рассматриваются в данном пособии, а их подробное обсуждение можно найти, например, в [2].

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >