ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ И ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ

Создание модели сложной системы — длительный и трудоемкий процесс. Его эффективность и качество конечного результата во многом определяются тем, насколько методически правильно выполнены построение модели и ее исследование.

Теория моделирования и практика его применения позволяют сформулировать основные принципы, которыми должен руководствоваться создатель модели, и рекомендовать рациональную последовательность ее построения.

Основные этапы формализации при построении математической модели

Под термином «формализация» понимают процесс перехода от системы к модели, т. е. от существующего или проектируемого материального объекта к объекту абстрактному. Корректность формализации сказывается на степени достоверности модели и, следовательно, на качестве исследования. Трудности формализации заключаются в выборе наиболее рациональных и эффективных математических схем и в процессе перехода от инженерного языка описания объекта к формальному языку описания модели.

Практически сложились три этапа формализации [4]:

• 1) составление содержательного описания, в которое входят основные сведения об изучаемом объекте или процессе, постановка задачи исследования, определение цели моделирования и перечень исходных данных;
• 2) составление формализованной схемы системы. Это промежуточный этап согласования двух языков описания системы: инженерного и математического. Он необходим в сложных случаях, когда не представляется возможным перейти к получению математической модели непосредственно по содержательному описанию;
• 3) разработка математической модели, т. е. запись в аналитической форме всех соотношений формализованной схемы с использованием определенных математических схем.

Содержательное описание в словесной форме концентрирует сведения о физической природе и количественных характеристиках исследуемого объекта или процесса. Его автор — инженер, представитель коллектива, разрабатывающего объект или процесс. Содержательное описание составляется по результатам наблюдения за системой (если она существует) или по опыту эксплуатации похожих систем (если система проектируется). Помимо сведений, непосредственно характеризующих процесс, в описание включается постановка задачи, определяющей цели моделирования. Она может не иметь строгой математической формулировки, однако должна содержать четкое изложение идеи исследования, перечень зависимостей, подлежащих оценке, и факторы, которые необходимо учитывать при построении модели.

Содержательное описание часто называют концептуальной моделью системы.

Формируя содержательное описание, следует помнить, что процесс функционирования системы понимается как последовательная смена ее состояний в некотором интервале времени [t₀, tj. Состояния системы в каждый момент t₀< t < характеризуются набором величин z₂, ..., z_n. Величины z^t), z₂(t), ..., z_n(t), определяющие процесс функционирования системы, называют характеристиками состояний. Моменту времени t₀ = О соответствует начальное состояние с характеристиками (начальными условиями) z₀₁, z₀₂, ..., z_0n. На вход системы могут поступать входные сигналы х₍ (? = 1, 2, ...). Они влияют на изменение состояний системы. Кроме того, функции z-,(t), z₂(t), ..., z_n(t) могут зависеть от некоторого числа постоянных величин — параметров. Система формирует выходные сигналы у_; (j = 1, 2, ...), полностью определяемые ее состояниями. Так, для электрического колебательного контура характеристиками состояний служат заряд конденсатора и ток в цепи, а параметрами — величины емкости и индуктивности.

Следовательно, кроме постановки задачи в содержательное описание должны быть включены исходные данные, характеризующие параметры и начальные условия. Описание представляется в виде схем, текстов, формул и таблиц.

На этапе содержательного описания следует [4, 19]:

• 1) убедиться, что задача существует и ее целесообразно решать; сформулировать и оценить сложность задачи и возможность ее разбиения на подзадачи;
• 2) выбрать приоритеты решения подзадач и возможные методы их решения;
• 3) обосновать требования к ресурсам ЭВМ, на которой должно выполняться моделирование, и оценить трудоемкость моделирования;
• 4) провести анализ задачи, для этого:
  • — выбрать и определить параметры и переменные,
  • — предложить возможные критерии интерпретации результатов моделирования,
  • — предложить методы проверки модели;
• 5) приступить к сбору информации.

При отсутствии конкретных знаний о некоторых составляющих задачи приходится ставить эксперименты, выдвигать гипотезы и предположения.

Формализованная схема разрабатывается совместно инженерами и математиками в тех случаях, когда невозможен прямой переход к математической модели (в основном из- за сложности исследуемой системы). На этом этапе необходимо уточнить характеристики объекта или процесса, установить систему параметров, строго определить все зависимости между характеристиками и параметрами с учетом тех факторов, которые принимаются во внимание при формализации, дать точную математическую формулировку задачи исследования с указанием окончательного перечня искомых величин и оцениваемых зависимостей. К формализованной схеме прилагается систематизированная и уточненная совокупность всех исходных данных, известных параметров процесса и начальных условий. Эти величины могут оставаться в виде таблиц или графиков, но должны быть полностью выяснены все вопросы, связанные с интерполяцией и экстраполяцией экспериментального материала.

Для перехода от содержательного описания к формализованной схеме необходимо:

1) исключить сведения, не существенные с точки зрения цели исследования системы;

• 2) установить такой критерий интерпретации результатов моделирования, который:
  • — отражает интересы «потребителя», использующего моделируемую систему,
  • — достаточно полно характеризует исследуемую систему,
  • — дает возможность выбора рационального варианта построения системы, т. е. чувствителен к изменению определяющих параметров,
  • — обозрим и удобен для вычислений;
• 3) оценить степень пригодности собранных экспериментальных данных;
• 4) определить необходимость детализации фрагментов концептуальной модели с целью выбора уровня их представления, позволяющего описать связи между ними математическими соотношениями или алгоритмами.

Следует еще раз проверить и учесть ресурсы, доступные для моделирования, а также фактор времени, чтобы результаты моделирования можно было своевременно использовать при принятии решений.

Математическая модель представляет собой систему соотношений, связывающих характеристики процесса функционирования объекта с его параметрами и начальными условиями. Для преобразования формализованной схемы в математическую модель необходимо использовать известные математические схемы (дифференциальные уравнения, агрегаты, системы массового обслуживания, графы, сети Петри и т. д.), записать в аналитической форме, соответствующей выбранной математической схеме, все соотношения, представить аппроксимирующими функциями и интерполяционными полиномами численные данные. Например, вместо таблиц частот для значений случайных величин используются аналитические выражения функций плотности типичных законов распределения, которые с достаточной точностью представляются этими частотами.