Декомпозиция системы и принципы перехода от содержательного описания к математической модели

Декомпозиция (т. е. разбиение целого на части) — широко распространенный метод исследования и проектирования систем управления [7]. Сокращая размерность исследуемого объекта, декомпозиция позволяет уменьшить сложность построения полной модели путем замены ее отдельными моделями, допускающими независимую разработку и исследование. Практически это означает, что модель системы приобретает блочный характер.

Декомпозиция моделируемого объекта для представления его в модели обычно проводится по двум направлениям: по «горизонтали» (функциональная декомпозиция) и по «вертикали» (детализация, или стратификация) [10, 17].

Функциональная декомпозиция.

Производится, как правило, с учетом основных функций, выполняемых подсистемами объекта. Функциональная декомпозиция позволяет разработчику модели сосредоточить внимание на полном и правильном отображении взаимодействия основных функциональных частей (подсистем, устройств) объекта и на построении модульной, функционально-ориентированной структуры модели.

Детализация (стратификация) объекта.

Необходимость ее обычно выясняется после проведения функциональной декомпозиции. Решения о детализации принимаются по отношению к каждой подсистеме отдельно. Фрагмент системы, дальнейшая детализация которого не является необходимой, приобретает статус элемента системы, и тем самым фиксируется уровень детализации его описания и представления в модели (параметров и функций, описывающих параметрические и временные связи входов и выходов системы). Переход на более детальное представление фрагмента системы необходим только в том случае, если вид и параметры функцийF(x, z, t, ...), связывающих входы x(t) и выходы y(t) рассматриваемого фрагмента системы, не известны с требуемой для модели точностью (рис. 1.2).

На рисунке показан пример стратификации объекта. На рис. 1.2, а изображен объект, для которого, ввиду сложности его организации и функционирования, невозможно получить явные зависимости выходных параметров Y = F(X, Z, V, 0 от входных параметров X, от состояния системы Z, от воздействий внешней среды У и от времени t, необходимых для построения модели. На рис. 1.2, б представлен первый уровень стратификации объекта (функциональная декомпозиция). Пусть для двух подсистем, реализующих функции F_l и F_n, получена требуемая точность их описания. В данном случае дальнейшая детализация блоков, реализующих функции F_n и F_r, приведена на рис. 1.2, в. Процесс стратификации в общем случае должен продолжаться до достижения требуемой точности описания функций.

В таком случае, переходя на следующий уровень стратификации, упрощают рассматриваемый элемент и в конце концов достигают уровня детализации, обеспечивающего определение функции F с требуемой точностью.

Однако декомпозиция не является «механическим» процессом расчленения; она приводит к некоторым дополнительным проблемам анализа системы.

Пусть состояние системы характеризуется функциями z₁(t), z₂(t), z_n(t), зависящими от параметров (3 и Р₂, •••> Математической моделью для объекта S могла бы служить система соотношений вида:

что в обобщенном виде можно записать как

Рис. U

В силу сложности системы получение такой модели является весьма редким случаем. Проведем декомпозицию системы S, т. е. расчленим ее на ряд подсистем S, (i = 1, 2, ..., m), основываясь при этом на определенных принципах [13], в том числе принципе минимальной связности между подсистемами. Доведем процедуру расчленения до уровня, когда построение моделей для подсистем S, станет заведомо возможным. Пусть характеристиками состояний S_t будут функции zJt) (j = 1, ..., г,). Естественно, что среди функций z^t) в общем случае могут оказаться функции, совпадающие с %(?), z₂(t), ..., z„(t). В качестве параметров для описания подсистем S,- выберем величины (3_i7 (I = 1, ..., hj). Некоторые из них могут совпадать с (3 1? •••>

(3_fc. При сделанных предположениях математические модели подсистем S, можно представить соотношениями

Обратим внимание на то, что совокупность моделей (1.1) в общем случае не составляет модели системы S. Это модели изолированных подсистем. Только совокупность уравнений (1.1) и (1.2) описывает систему S.

В результате такого преобразования модель представляется в виде совокупности отдельных блоков.

Отметим, что в процессе декомпозиции появились новые переменные вида z^ и величины (3,_;, наличие которых не предполагалось при выборе характеристик и параметров процесса S. В некоторых случаях часть этих «промежуточных» величин можно исключить из математической модели. Оставшиеся промежуточные величины должны рассматриваться наряду с выбранными ранее как характеристики или параметры процесса S.

Важно также и то, что вид функций ф_г в соотношении (1.2) зависит от выбранной совокупности характеристик и параметров подсистем, т. е. от варианта декомпозиции. Декомпозиция, приводящая к упрощению модели системы, начинается на уровне содержательного описания.

Разные подсистемы могут требовать применения разных типов моделей, а для каждой частной модели должны использоваться наиболее целесообразные математическая схема и метод ее исследования.

Когда декомпозиция модели определяется разбиением системы на подсистемы, принятым при создании системы управления, выбор характеристик z^ и параметров предопределен.

Если декомпозиция полной модели проводится только по соображениям ее упрощения, можно рассматривать несколько вариантов разбиения.

Для уяснения механизма перехода от описания к блочной модели полезно ввести представление об описании системы S (рис. 1.3, а) как о совокупности элементов 1, ... 47, представляющих собой части проектируемой системы, взаимодействующие с ней другие системы, внешнюю среду и т. д. [21].

Рис. 1.3

В этой интерпретации переход от описания к модели сводится к исключению некоторых элементов описания; часть из них (5—9, 38—47) исчезает бесследно. Предполагается, что они не оказывают значимого влияния на ход процессов, исследуемых с помощью модели на рис. 1.3, б.

Удаление оконечных элементов (22, 23, 36, 37), составляющих описание взаимодействующего с системой «потребителя», часто лишает возможности наглядно представить результаты моделирования. Поэтому функционирование этих элементов следует отразить при конструировании критерия интерпретации результатов г (см. рис. 1.3, б).

Ряд элементов (14, 15, 28, 29) заменяется пассивными связями, транслирующими без искажения информацию, которой обмениваются сохранившиеся элементы. Некоторая часть элементов заменяется внешними воздействиями: элементы 10, 11, 24, 25 заменены воздействием элементы 1—4 заменены воздействием ?₂- Возможны комбинированные замены: элементы 18, 19, 32, 33 заменены пассивной связью и воздействием (в программе, реализующей модель, этим воздействиям соответствуют специальные имитирующие процедуры). Оставшиеся элементы группируются в блоки I, II, III, автономное функционирование которых хорошо изучено.

Получившаяся блочная модель позволяет анализировать взаимодействие блоков, облегчает управление моделью и организацию работ по ее программированию. Возможно, что при определенных условиях целесообразно исследовать разные блоки разными способами. Расчленение модуля на блоки является неформальной процедурой и затруднено наличием обратных связей.

Блочный характер модели ускоряет процесс ее создания на стадиях программирования и отладки. В процессе перехода к блочной структуре, как было показано, одновременно решается задача упрощения самой модели отбрасыванием или заменой некоторых блоков простыми связями или критериями. В то же время блочная структура приводит и к некоторым усложнениям модели, поскольку в ее состав должны входить вспомогательные блоки, организующие взаимосвязи между основными моделирующими блоками. Эти взаимосвязи осуществляются на функциональном уровне (связи между параметрами, входными и выходными переменными) и во времени (синхронизация событий, моделируемых разными блоками).

Прежде чем перейти к следующим этапам создания модели, необходимо оценить достоверность полученной модели. Это весьма сложная задача, однако можно рекомендовать два достаточно эффективных метода ее решения [9]:

• 1) проведение выполненных в процессе построения модели рассуждений в «обратном порядке», начиная от анализа критериев интерпретации и заканчивая рассмотрением постановки задачи;
• 2) анализ модели специалистами, не участвовавшими в ее разработке.

Наибольшие трудности возникают при моделировании проектируемой системы. Построение модели здесь сводится к упрощению предполагаемой структуры до такой степени, чтобы сделать возможным ее экспериментальное исследование доступными средствами. Основные трудности появляются при проверке соответствия построенной модели исходному описанию предполагаемой системы. Процедура «разумного упрощения» описания для получения модели не формализована. Обычно используют итерационный метод: вначале проектируется и используется простая модель, затем на основе опыта применения этой модели проектируется и используется более сложная и полная и т. д.

В процессе перехода к математической модели необходимо учитывать определенные принципы и правила [20]. Принципы позволяют сформулировать общие свойства, которыми должна обладать построенная модель. Правила декомпозиции дают способы получения нужных свойств модели.

Основные принципы:

• — обеспечение компромисса между ожидаемой достоверностью результатов моделирования и сложностью модели;
• — соблюдение баланса точностей, т. е. соразмерности погрешности модели (отклонения модели от описания системы) с погрешностью в задании параметров системы при ее описании (исходная неопределенность), соответствия точностей отдельных элементов модели, соответствия погрешности модели и погрешности при интерпретации и усреднении результатов моделирования;
• — обеспечение наглядности модели для исследователя и потребителя (заказчика) и удобство работы с ней (изменение данных, модификация структуры и т. п.);
• — наличие блочной структуры; ее элементы, соответствующие определенным элементам системы или воздействующим факторам, группируются в совокупности (блоки), причем количество связей между блоками минимизируется;
• — использование набора простых моделей, каждая из которых предназначена для анализа функционирования системы в узком диапазоне условий.

Основные правила:

• 1) следует тщательно упорядочивать структуру описания и находить группы тесно связанных элементов формализованной схемы и модели. Обмен информацией между блоками должен быть по возможности минимальным;
• 2) необходимо принимать решение о существенности или несущественности каждого блока для данной задачи и в соответствии с этим сохранять структуру описания в пределах этого блока, заменять ее эквивалентом или удалять блок из модели. Несущественными и подлежащими удалению считаются блоки модели, мало влияющие на принятый критерий интерпретации результатов моделирования;
• 3) блок модели, осуществляющий комплекс воздействий на исследуемую часть системы, в общем случае можно заменить множеством упрощенных эквивалентов, не зависящих от исследуемой части. Каждый эквивалент формирует одно из возможных воздействий в пределах заданного диапазона, а моделирование проводится в нескольких (по числу воздействий) вариантах. Если взаимодействия носят конфликтный характер, их можно заменить «наихудшим воздействием»;
• 4) следует разрабатывать несколько моделей разной сложности и проверять их по сходимости результатов;
• 5) результаты исследования полной модели системы следует сравнивать с результатами, полученными при исследовании частных моделей, отражающих работу системы в специфических ситуациях. Результаты сравнения используются для уточнения разработанных моделей.

Процесс перехода от содержательного описания к математической модели, а также процесс построения самой математической модели есть итерационная процедура, допускающая многовариантные решения.