Полная версия

Главная arrow Информатика arrow Имитационное моделирование

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Системы массового обслуживания

Во многих случаях функционирование системы удобно описать в терминах обслуживания заявок. Так, например, каждая программа в информационно-вычислительной системе (ИВС) инициируется в порядке, определяемом ситуацией в среде пользователей и в самой ИВС. Причину инициирования программы можно рассматривать как заявку на обслуживание. Правило диспетчирования, на основе которого из очередей выбираются запросы, называют дисциплиной обслуживания. Совокупность заявок, распределенных во времени, называется потоком заявок. Различают входящие и выходящие потоки заявок, которые поступают в систему и покидают ее соответственно.

В общем случае поток заявок рассматривается как случайный процесс, задаваемый функцией распределения промежутков времени т между моментами поступления двух соседних заявок. Важнейшая характеристика потока — интенсивность X, равная среднему числу заявок, поступающих в единицу времени; величина 1/Х определяет средний интервал времени между двумя последовательными заявками [5].

Поток заявок является стационарным, если его характеристики не изменяются во времени, и нестационарным — в противном случае.

В теории массового обслуживания наибольшее число аналитических результатов получено для простейшего потока. Он обладает следующими свойствами: стационарностью, отсутствием последействия (длина интервала времени до момента поступления следующей заявки не зависит от того, поступила в начальный момент заявка или нет); ординарностью

(в каждый момент времени в систему может поступить не более одной заявки). Для простейшего потока интервалы времени между двумя последовательными заявками — независимые случайные величины с показательной функцией распределения

Математическое ожидание и дисперсия длины интервала времени Т между последовательными моментами поступления заявок М[т] = 1 / X, D[t] = 1 / АА

Простейший поток обладает устойчивостью: при суммировании независимых простейших потоков получается снова простейший поток с суммарной интенсивностью.

Для простейшего потока число заявок, поступающих в систему за промежуток времени т, распределено по закону Пуассона:

где Р{к, т} — вероятность того, что за время т в систему поступит ровно к заявок.

Распределение Пуассона дискретно. Заметим, что распределением Пуассона может описываться и нестационарный поток, у которого X = X(t). Такой поток также является пуассоновским, но не является простейшим.

Важная характеристика системы массового обслуживания — это длительность обслуживания заявки — случайная величина, равная промежутку времени, которое необходимо устройству («прибору») для обслуживания поступившего запроса. При практических расчетах обычно используется экспоненциальный закон распределения времени обслуживания с плотностью распределения

где ц — интенсивность обслуживания — величина, характеризующая количество заявок, которое может быть обслужено в единицу времени. Применение экспоненциального распределения целесообразно по следующим причинам:

  • — упрощаются аналитические соотношения;
  • — получаемые оценки являются предельными;

— как следствие отсутствия последействия, интервал времени от любого случайного момента времени до момента окончания обслуживания заявки также имеет экспоненциальное распределение с тем же средним. Иначе говоря, процессы обслуживания и дообслуживания протекают одинаково.

Одной из важнейших характеристик качества функционирования информационной системы является ее загрузка р = = А, / ц. Смысл величины р следующий: это среднее число заявок, поступивших в систему за среднее время обслуживания одной заявки. Наряду с этим величина загрузки характеризует долю времени, в течение которого обслуживающий прибор занят обслуживанием, а также вероятность того, что в произвольный момент времени обслуживающий прибор работает, а не простаивает.

Рассмотрим простейшую из всех задач теории массового обслуживания — задачу о функционировании одноканальной СМО с отказами.

Пусть система массового обслуживания состоит только из одного канала (п = 1) и на нее поступает простейший поток с интенсивностью X. Заявка, заставшая канал занятым, получает отказ и покидает систему. Обслуживание заявки продолжается в течение случайного времени То6, распределенного по показательному закону с параметром р:

Требуется найти относительную пропускную способность СМО q — вероятность того, что в момент канал свободен.

Рассмотрим единственный канал обслуживания как физическую систему S, которая может находиться в одном из двух состояний: S0 — канал свободен и — канал занят.

Из состояния S0 в Sj систему, очевидно, переводит поток заявок с интенсивностью X; из Sj в S0 — «поток обслуживании» с интенсивностью р.

Обозначим вероятности состояний p0(t) и р2(0- Очевидно, для любого момента времени t

Составим дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей этих состояний. Имеем

Из двух уравнений одно является лишним, так как р0(0 и PjCt) связаны соотношением p0(t) + рх(0 = 1. Учитывая это, отбросим второе уравнение, а в первое подставим вместо р2 (t) его выражение 1 - p0(t):

или

Этот уравнение естественно решать при начальных условиях

(в начальный момент канал свободен).

Приведем решение этого уравнения:

В начальный момент (при t = 0) канал свободен (р0(0) = 1). С увеличением t вероятность уменьшается и в пределе (при

t —» оо) равна ^ . Величина рЛО, дополняющая p0(t) до еди-

Х + р х

ницы, изменяется, соответственно, от 0 до-.

Х + р

Нетрудно убедится, что для одноканальной СМО с отказами вероятность р0(0 есть не что иное, как относительная пропускная способность q.

Действительно, р0(0 есть вероятность того, что в момент t канал свободен, иначе вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, будет обслужена. А значит, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно p0(t): p0(t) = q.

В пределе, при t —»сю, когда процесс обслуживания уже установился, предельное значение относительной пропускной способности будет равно

Зная относительную пропускную способность системы q (вероятность того, что пришедшая в момент t заявка будет обслужена), легко найти вероятность отказа (при t

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>