Моделирование непрерывных распределений.
Известны три пути формирования последовательности случайных величин с произвольным заданным законом распределения:
- 1) прямое осуществление над числом К[0,1] —реализацией случайной величины, равномерно распределенной на [0, 1], — некоторой операции, формирующей число уг, которое может рассматриваться как реализация случайной величины Y;
- 2) отсеивание чисел из первоначальной случайной последовательности так, чтобы оставшиеся числа составляли последовательность с заданным распределением;
- 3) моделирование условий соответствующей предельной теоремы теории вероятностей.
Рассмотрим наиболее употребительные случаи, иллюстрирующие перечисленные методы.
Моделирование непрерывных случайных величин по методу обратной функции.
Докажем следующее утверждение: значение 2, можно найти из уравнения
где/(х) — плотность распределения х.
Рассмотрим функцию
Поскольку у (х) возрастает, то любая прямая у = R пересекает ее график в одной точке, т. е. решение единственное (рис. 3.1).
Рис. 3.1
Возьмем произвольный интервал (а', Ь'), которому соответствуют значения у (а'), у (Ь'). Тогда
откуда следует, что J/(x)dx = R[0,1].
а
Моделирование непрерывных случайных величин по методу исключения.
Метод заключается в том, что из равномерно распределенной совокупности случайных чисел отбираются те, которые подчиняются заданному закону распределения.
Пусть требуется получить последовательность значений {у;} случайной величины У, распределенной по закону с плотностью/(у) (рис. 3.2). Пусть имеются две последовательности равномерно распределенных чисел {yi-1)}j {у-2)}: {ур1} — в [а, Ь], {ур}> — в [0,/J, где/т = тахДу).
Рис. 3.2
Рассмотрим последовательность случайных чисел {у-(1)}, отбираемых из {у-1-1} по условию /(у, (1))>уг-2). Найдем вероятность того, что случайная величина у -принимает значения в диапазоне [с, d):
Для нахождения условной вероятности воспользуемся общей формулой Р(АВ) = Р(А)Р(В / А), откуда
что дает основание записать:
Вероятность того, что точка окажется под кривой на полуинтервале [с, d) и не будет отброшена:
так как она определяется числом точек, попавших в соответствующие области, или площадями областей.
Вероятность того, что точка окажется под кривой и не будет отброшена:
откуда
Таким образом, для получения реализации у с плотностью /(у): а) имитируется реализация {у -,у-2-*} вектора, равномерно распределенного в области Gb ограниченной осью у и мажорирующей кривой g(y) >/(у); б) выполняется сравнение уР} 1}). Если неравенство выполнено, то {урРур-*} является реализацией вектора, равномерно распределенного в области G, и, следовательно, у-1-* есть искомая реализация. В противном случае этапы а), б) повторяются.
Эффективность метода характеризуется коэффициентом использования у — отношением среднего числа полученных реализаций к числу затраченных:
В рассмотренном случае
где / — среднее значение кривой/(у) на участке [а, Ь]. Следовательно, простейшая мажорирующая функция оказывается неэффективной для плотностей с резко выраженными максимумами.
