Моделирование условий предельных теорем.

В некоторых случаях при выборе метода моделирования следует учитывать фундаментальные результаты теории вероятностей. Так, моделируя нормально распределенные случайные величины, используют центральную предельную теорему, согласно которой при сложении достаточно большого числа независимых случайных величин, сравнимых по своим дисперсиям, получается случайная величина, распределенная приближенно по нормальному закону, причем этот закон тем ближе к нормальному, чем больше случайных величин складывается.

Рассмотрим соответствующие преобразования.

Возьмем п случайных чисел R_v R₂R_n, равномерно распределенных в интервале (0, 1). Математическое ожидание их суммы

а дисперсия суммы

Для получения последовательности нормально распределенных случайных величин {у₍} с заданными параметрами М[у] и о [у] представим случайную величину у,- в виде суммы:

где Zj — нормально распределенная случайная величина с параметрами M[z] = 0 и а[у] = 1.

Согласно теореме имеем

Отсюда

Подставив значение z_f в (3.7), получим

Практика показывает, что достаточная точность может быть получена при 5 < п < 15.

Моделирование векторных случайных величин.

Под n-мерной векторной случайной величиной Y понимают систему коррелированных случайных величин Y_1} Y₂, ..., Y_n, заданных совместной плотностью распределения /(у_1} ...,у_п) или совместной функцией распределения F(y_b ...,у_п) = Р(У₁ < у_ь ...,

У„<у_пУ

Пусть наибольшее значение плотности распределения тах/(у_1} ...,у_п) = т, а области распределения составляющих заданы неравенствами а, < Y_t < b, i = 1,..., п.

Формируем R_b ..., R_n, K_n+1 — случайные равномерно распределенные в интервале (0, 1) числа. Переходим к интервалу

(a_f, bj): Xj = a_; + (b, - a₍)R; для первых л чисел, а число R_n+1 приведем к интервалу (0, т): x_n+i = mR_n+i.

Вычислим величину плотности распределения при найденных значенияхх_г и проверим условие/(х_]? х₂, х_п) > х_п+1. Если

это условие выполняется, то значенияx_l5 х₂, ..., х_п принимаются в качестве составляющих случайного вектора Y = (Y_1} Y₂Y_n).

Математическое ожидание числа испытаний равно произ-

п

ведению ПФ-сОт.

1=1

В пространстве с числом измерений более двух практически доступным оказывается получение реализаций составляющих случайного вектора в том случае, когда случайный вектор задается в рамках корреляционной теории. В качестве примера рассмотрим случайный вектор с математическими ожиданиями а_ь а₂, а_п и корреляционной матрицей

Здесь k_tj = kj_{.

Пусть в нашем распоряжении находится последовательность {R,} некоррелированных случайных чисел с математическим ожиданием, равным а, и дисперсией о².

Реализации у_{ составляющих Y_{ случайного вектора удобно определить в виде

т. е. как линейное преобразование случайных величин R,. Рассмотрим математическое ожидание произведения у%:

По определению это означает, что

откуда

Рассмотрим математическое ожидание произведения у-^

Второе слагаемое в силу независимости и R₂ обращается в нуль, поэтому

Подобным образом можно найти все коэффициенты с^.

При таком формировании реализаций случайного вектора на ЭВМ требуется хранить в запоминающем устройстве п{п + + 1) / 2 корреляционных моментов и п математических ожиданий.

Более полные сведения о моделировании случайных воздействий можно найти, например, в работе [21].