Полная версия

Главная arrow Информатика arrow Введение в математическое моделирование

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Все изменения, совершающиеся в природе, происходят таким образом, что сколько к чему прибавилось, столько же отнимется от другого.

М. В. Ломоносов

Часто используемый метод построения моделей состоит в применении фундаментальных законов природы к конкретной ситуации. Эти законы общепризнанны и многократно подтверждены опытом, поэтому их обоснованность не вызывает сомнений. Важно понимать, какой закон (законы) следует применять в данном случае и как это делать. Рассмотрим несколько примеров построения математических моделей явлений, основанных на законах сохранения.

Течение идеальной жидкости

Рассмотрим течение идеальной жидкости. В идеальной жидкости на любую площадку с нормалью п действует только давление р, по величине одинаковое для всех направлений нормали п.

Пусть t — время, хк— декартовы координаты = 1, 2, 3), ifc — орты их осей, V(t) — произвольный замкнутый объем, S(t) — поверхность, ограничивающая этот объем, ап — внешняя нормаль к элементу ds этой поверхности (рис. 3.1).

Если элементы ds поверхности S(t) движутся, и D — проекция их скорости на нормаль п, то для любой функции Л = A(t, хь х2, х3) = A(t, г) справедливо равенство

Здесь V — фиксированный (независящий от времени) объем, a S — ограничивающая его поверхность. Для жидкого объема V(t), состоящего из фиксированных частиц жидкости D = v • п, где v = (va, v2, v3) — вектор скорости жидкости, равенство (3.1) примет вид

Произвольный замкнутый объем и поверхность, ограничивающая этот объем

Рис. 3.1. Произвольный замкнутый объем и поверхность, ограничивающая этот объем

1. Уравнение неразрывности. Масса т жидкости, заключенной в объеме V(t), равна

где р = p(r, t) >0 — плотность жидкости. Закон сохранения массы формулируется следующим образом: масса жидкости в объеме V(t), движущемся вместе с жидкостью, остается постоянной при движении жидкости. Тогда из определения массы (3.3) следует

С учетом соотношения (3.2) уравнение неразрывности в интегральной форме принимает вид

Уравнение (3.4) имеет следующий смысл: скорость изменения массы в фиксированном объеме равна потоку массы через поверхность ограничивающую этот объем.

2. Уравнения движения. Рассмотрим динамику движения жидкости и получим уравнения, которые описывают действия на жидкость внешних и внутренних сил. Используем закон сохранения количества движения: скорость изменения количества движения жидкости, заключенной в движущемся объеме V(t), равна сумме сил, действующих на эту жидкость. В результате получим уравнение

где через f = (fb /2, /3) обозначено поле внешних сил, отнесенных к единице массы. Сила f является известной функцией, которая зависит от выбранной точки пространства и времени. Давление действует на замкнутую поверхность и стремится сжать жидкость, заключенную внутри этой поверхности. Учитывая соотношение (3.2), получим уравнение движения в интегральной форме

3. Уравнения энергии. Полная энергия объема жидкости Е (внутренняя + кинетическая) равна

где е — удельная внутренняя энергия. Закон сохранения энергии для идеальной жидкости: скорость изменения полной энергии в движущемся объеме равна сумме мощности внешних сил, действующих на объем, и мощности сил давления на поверхности объема при его сжатии или расширении. Тогда уравнение энергии имеет вид

Учитывая соотношение (3.2), получим уравнение энергии в интегральной форме

Уравнения (3.4), (3.6), (3.8) содержат шесть неизвестных величин — р, р, v и е, а мы имеем пять уравнений. Следовательно, одних этих уравнений недостаточно для полного описания движения жидкости. Для их замыкания необходимо задать уравнение состояния среды, которое связывает между собой термодинамические (макроскопические) параметры среды, такие как температура, давление, объем. Оно может быть получено из опыта или из модели, созданной в рамках статистической физики. Уравнения состояний реальных веществ могут быть очень сложными. В рамках приведенной выше модели уравнение состояния удобно задать в виде е = е(р, р). Например, уравнение состояния идеального газа имеет вид

где у — показатель адиабаты.

Если переменные течения являются непрерывно дифференцируемыми функциями в объеме V, ограниченном достаточно гладкой поверхностью S, то модель течения жидкости может быть представлена в виде системы дифференциальных уравнений. Применяя теорему Гаусса — Остроградского

и учитывая произвольность объема V, получим

Уравнения газовой динамики (3.10) в общем случае являются многомерными, нелинейными гиперболическими уравнениями в частных производных. Вместе с заданными начальными и краевыми условиями эти уравнения представляют собой замкнутую математическую модель течения идеальной жидкости.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>