Полная версия

Главная arrow Информатика arrow Введение в математическое моделирование

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Рост дерева

Рассмотрим модель свободного роста дерева [4]. Эта модель основывается на следующих предположениях:

  • 1) дерево в процессе роста сохраняет геометрическое подобие. Это значит, что у дерева с ростом не меняются отношения геометрических размеров, например отношение высоты к диаметру;
  • 2) энергию дерево получает только от солнечной радиации;
  • 3) энергия расходуется на фотосинтез, на построение живой ткани и на подъем раствора из почвы.
  • 4) В среднем за большие отрезки времени дерево получает постоянное количество света на единицу поверхности и может поглощать необходимые вещества из неограниченного запаса.

Уравнение роста записывается в форме закона сохранения энергии и имеет вид

где т - рУ — масса дерева; Es — полученная энергия от солнечной радиации; Ер — расход энергии на нужды фотосинтеза; Et — энергия, требуемая на транспортировку питательного раствора во все части растения. Первое и второе слагаемые в уравнении (3.18) зависят от площади поверхность кроны дерева S: Es = a}S,Ep = a2S. Третье слагаемое пропорционально общему дерева V и высоте h, так как связано с преодолением силы тяжести: Et = a3V7i.

Тогда уравнение изменения объема отдельного дерева записывается в виде

где bj зависит от интенсивности фотосинтеза листовой поверхности. Для того чтобы выразить площадь листовой поверхности дерева S через его объем, воспользуемся соотношением

где а равно фрактальной размерности кроны (2/3 < a < 1). Для описания роста дерева в высоту можно воспользоваться какой-либо моделью вида

В итоге мы получим систему уравнений (3.19)—(3.21), которая позволяет вычислять объем и высоту дерева.

Законы сохранения играют центральную роль в физике. В общем случае они выражают свойство симметрии уравнений физического поля относительно тех или иных преобразований. Для построения модели может потребоваться использование не одного, а нескольких законов сохранения. В зависимости от конкретных свойств объекта и дополнительных предположений, основываясь на одном и том же законе сохранения, можно получить совершенно различные математические модели. Часто для вывода уравнений, описывающих различные явления, необходимо дополнить законы сохранения уравнениями связи между параметрами модели. Они конкретизируют свойства рассматриваемого объекта.

Контрольные вопросы

  • 1. Следствием какого закона является уравнение неразрывности для течения идеальной жидкости?
  • 2. К какому уравнению приводит применение закона сохранения энергии для течения идеальной жидкости?
  • 3. К какому уравнению приводит применение закона сохранения энергии для задачи распространения тепла?
  • 4. При каких условиях к движению транспорта по дороге применимы уравнения сплошной среды?
  • 5*. Почему при описании движения транспорта моделью сплошной среды не используется закон сохранения энергии?
  • 6*. Почему при моделировании роста дерева не используется закон сохранения массы?

Литература

  • 1. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — Москва : Наука, 1986.
  • 2. Овсянников, Л. В. Лекции по основам газовой динамики / Л. В. Овсянников. — Москва ; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003.
  • 3. Овчинников, Н. Ф. Принципы сохранения. Законы сохранения, симметрия, структура / Н. Ф. Овчинников. — Москва : URSS, 2019.
  • 4. Полетаев, И. А. О математических моделях элементарных процессов в биогеоценозах / И. А. Полетаев // Проблемы кибернетики. — Москва : Наука, 1966. — Вып. 16. — С. 171—190.
  • 5. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. — Москва : Наука, 1972.
  • 6. Франкфурт, У. И. Закон сохранения и превращения энергии / У. И. Франкфурт. — Москва : Либроком, 2016.
  • 7. Черный, Г. Г. Газовая динамика / Г. Г. Черный. — Москва : Наука, 1988.
  • 8. Cattaneo, С. Sulla conduzione del calore / C. Cattaneo // Atti del Seminario Mat. Fis. Univ. Modena. — 1948. — № 3. — P. 83—101.
  • 9. Papageorgiou, M. Some remarks on macroscopic traffic flow modeling / M. Papageorgiou // Transportation Research. — 1997. — Vol. 32 — № 5. — P. 323—329.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>