Полная версия

Главная arrow Информатика arrow Введение в математическое моделирование

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Количество действия, необходимое для того, чтобы произвести некоторое изменение в природе, является наименьшим возможным.

П. Л. М. де Мопертюи

Вариационные принципы представляют собой некоторые общие утверждения о рассматриваемом объекте и гласят, что из всех возможных вариантов его поведения выбираются лишь те, которые удовлетворяют определенному условию. Обычно согласно этому условию некоторая связанная с объектом величина достигает экстремального значения при его переходе из одного состояния в другое. Вариационные принципы являются фундаментальными принципами практически во всех физических теориях. Они позволяют как получать основополагающие уравнения, так и проводить практические расчеты.

Брахистохрона и цепная линия

Рассмотрим две замечательные кривые: цепную линию и брахистохрону. Кроме всего прочего, эти кривые замечательны тем, что послужили основой для построения вариационного исчисления.

По какой траектории, соединяющей две точки разной высоты, должна двигаться материальная точка без трения в поле тяжести, чтобы время движения было минимальным? Можно представить, что имеем бусинку, нанизанную на проволоку, по которой она скользит без трения. Мы можем как угодно изменять форму проволоки, лишь бы она соединяла две наперед заданные точки (рис. 4.1). Время движения бусинки, очевидно, зависит от формы проволоки. Какой формы должна быть проволока, чтобы время движения бусинки было минимальным?

Переведем задачу на язык математики, для чего введем систему координат, как показано на рис. 4.1. Это не совсем стандартная система координат, но в ней значительно упрощаются дальнейшие расчеты. Из определения скорости движения точки вдоль оси х

следует, что полное время движения точки

К задаче о брахистохроне и цепной линии

Рис. 4.1. К задаче о брахистохроне и цепной линии

Скорость движения точки вдоль оси х выразим через полную скорость движения точки v(x) (которая, в свою очередь, зависит от координаты х):

где а(х) — угол наклона кривой к оси х в точке с ординатой х. Очевидно, что кривая должна лежать в плоскости, где лежат точки Аи В и вектор силы тяжести. Тогда ее форму можно описать некоторой функцией у (х). Теперь полное время движения точки

Осталось только выразить через у(х) скорость движения точки v(x). По закону сохранения энергии в точке х

где g — ускорение свободного падения. И мы получаем окончательную математическую формулировку задачи: найти такую функцию у0(х), при которой величина

Величину W(y(x)) можно рассматривать как пример функционала — ее значение определяется всей функцией у (х).

Для решения этой задачи сведем ее к уже известной задаче поиска экстремума функции. Как известно, в точке экстремума линейная часть приращения отсутствует (поскольку производная равна нулю). Предположим, что рассматриваемая функция у(х) в каком-то смысле «близка» к искомой функции у0(х). Можно записать

Тогда при заданной ц(х) величина W становится функцией параметра е. При достаточно малых 8 найдем линейную часть приращения W, пропорциональную 8, и приравняем ее к нулю. Итак,

В дальнейших выкладках предполагаем, чтоу0(х) и ц(х) таковы, что W(e) не имеет особенностей в точке 8 = 0 и вблизи нее, а г (х) вместе с ее производной ограничена на рассматриваемом интервале. Из условий задачи также следует, что ц (хА) = тв) = 0. Считая 8 достаточно малым, чтобы пренебречь нелинейными частями в подынтегральном выражении ИДе), и выделяя линейную часть, имеем

Для достижения функционалом W(y(x)) экстремального значения в «точке» у0(х) необходимо, чтобы подынтегральное выражение равнялось нулю для достаточно произвольных г|(х). Но прежде, чем приравнивать подынтегральное выражение к нулю (и получить уравнение нау0(х)), необходимо заметить, что ц'(х) и г|(х) в данном случае нельзя считать независимыми, поскольку они стоят под знаком интеграла. Поэтому сначала избавимся от г|'(х) интегрированием по частям:

Поскольку г| (хА) = гв) = О и считая, что г| (х) достаточно быстро стремится к нулю при х —» 0, получаем:

Подынтегральное выражение, как уже отмечалось, должно равняться нулю при достаточно произвольных г|(х), поэтому

— дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять неизвестная функция у0(х).

Подытоживая вышесказанное, задачу на поиск экстремума функционала можно свести к задаче поиска экстремума функции. Требуем равенства нулю линейной части приращения функционала для достаточно произвольных функций, пропорциональных разности «пробной» функции и точного решения. Для этого в подынтегральном выражении оставляем только члены, линейные по этой функции и ее производным. Интегрированием по частям обязательно избавляемся от производных вышеупомянутой функции. И окончательно, приравнивая к нулю в подынтегральном выражении множитель перед вышеупомянутой функцией, получаем уравнение на функцию — точное решение.

Получим уравнение для функции брахистохроны в стандартных координатах. Очевидно, что

где Л — постоянная интегрирования. Тогда и

Из подынтегрального выражения видно, что для существования физического решения на всем интервале изменения х должно выполняться неравенство А2х > 1. Тогда естественно сделать замену переменной А2х = cos2(a) (= (1 + cos(2a))/2):

Это уравнение кривой — циклоиды, что наглядно видно при параметрическом ее задании:

Рассмотрим теперь следующую задачу. Пусть между двумя точками разной высоты в поле тяжести натянута тяжелая цепь (трос) так, что ее длина больше расстояния между точками (см. рис. 4.1). Какова форма такой цепи?

Прежде всего укажем физический принцип провисания цепи: для статических (не движущихся) систем верен принцип минимума потенциальной энергии (который в однородном поле тяжести можно сформулировать как принцип минимальной высоты центра тяжести системы).

Введем систему координат, как показано на рис. 4.1, тогда потенциальная энергия бесконечно малого участка цепи длиной dl равна

где р — линейная плотность цепи, кг/м; g — ускорение свободного падения. Теперь задачу можно сформулировать следующим образом: найти такую функциюу(х), что

где L — длина кривой. Для окончательной формулировки этой задачи необходимо выразить dl через dx. По теореме Пифагора dl2 = dy2 + + dx2 = (у'ОО2 + l)dx2 и dl = ((уЧх)2 + l))1/2dx. Тогда получается следующая вариационная задача: найти функцию у(х) такую, что

при условии

Эту задачу будем решать методом неопределенных множителей Лагранжа. Будем искать экстремум функционала

в пространстве пробных функций у (х), при которых существуют необходимые интегралы, расширенном пространством области значений X — действительной осью (т. е. формально ищем не только функцию у(х), но и параметр X, при которых функционал экстремален).

Представим у(х) = у0(х) + 5у(х), где значком 5 обозначается вариация — малое изменение величины или функции. Причем вариации §у(х) малы вместе с необходимым количеством своих производных. Выделим линейную часть приращения W(y(x), X):

Далее интегрированием по частям избавляемся от производных 8у'(х):

Поскольку из условий задачи 5у(хл) = §у(хв) = О, то окончательно получаем следующую систему уравнений:

Получим и решим систему уравнений на функцию цепной линии в стандартной системе координат. Из первого уравнения системы следует, что

откуда

и

Этот интеграл берем, например, подстановкой (х + X)/А = ch(t). Тогда

Это обратная гиперболическая функция. Докажем это, выразив х через у:

Чтобы найти параметр X, подставим полученное решение во второе уравнение системы. После интегрирования получаем

Для окончательного определения параметров X и А добавим следующее уравнение:

Из этих двух уравнений можно найти X и А.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>