Полная версия

Главная arrow Информатика arrow Введение в математическое моделирование

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Законы Кирхгофа

Рассмотрим пример применения вариационных принципов к задачам электрических цепей постоянного тока. С их помощью мы получим правила Кирхгофа. Эти правила — фундаментальные законы в данной теории.

Электрические цепи постоянного тока

Вначале мы рассмотрим основные понятия. Структуру электрических цепей постоянного тока принято описывать принципиальными схемами со следующими обозначениями элементов (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Элементы электрической цепи

Обозначение

элемента

Название элемента

Параметр

Название параметра

Проводник. Соединяет другие элементы

Соединение проводников

Сопротивление

R

Сопротивление

Источник тока (ЭДС)

Е, г

Электродвижущая сила (ЭДС), внутреннее сопротивление

Принципиальная схема состоит из вышеуказанных элементов и описывает связи между ними (рис. 4.2).

Примеры принципиальных схем постоянного тока

Рис 4.2. Примеры принципиальных схем постоянного тока

Каждый проводник имеет потенциал Ф, причем все проводники одного соединения имеют одинаковый потенциал. Через все элементы, кроме соединения проводников, текут токи I. Формулировка задачи электрической цепи постоянного тока состоит в задании принципиальной схемы и параметров всех входящих в нее элементов. Решение задачи электрической цепи постоянного тока состоит в нахождении потенциалов всех проводников и текущих через них токов. Для решения этой задачи для каждого элемента необходимо воспользоваться его законом связи тока и потенциалов: сопротивление:

источник тока:

проводник — нет связи.

Заметим, что Ф2 и Ф2 — потенциалы соединяющих проводников. И если для сопротивления неважно, как их нумеровать, то для источника тока если Ф2 находится со стороны короткой черты, то Е считается положительным, иначе — отрицательным.

Для решения задач электрических цепей постоянного тока можно использовать физически очевидный принцип минимума выделяемой схемой тепловой энергии.

Первое правило Кирхгофа

Пусть у нас сформулирована задача для электрической цепи постоянного тока. Для дальнейшего удобства пронумеруем все потенциалы проводников. Тогда каждый оставшийся элемент цепи (сопротивления и источники тока) находится между двумя проводниками и его естественно нумеровать двумя индексами — номерами связанных с ним проводников. Рассмотрим электрическую мощность (джоулево тепло), выделяемую на этом элементе:

где i, j — индексы проводников (i, j = 1, ..., N); 1^ — текущий по элементу ток и = 0 для сопротивлений. Из (4.31) и (4.32) можно получить следующее выражение для 1^у.

где Е^ = 0, Гф) = 0 для проводников и = 0 для источников тока. Тогда

и вся выделяемая цепью мощность

где суммирование ведется не по всем возможным парам (i, j), а только по соответствующим существующим элементам схемы.

Неизвестные переменные в данном случае — потенциалы проводников Ф(. Из условия минимума квадратичной формы (4.35) следует система уравнений

где суммирование проводится по всем элементам, соединенным с проводником i, т. е.

Тогда для каждого соединения проводников сумма токов равна нулю, и мы получили первое правило Кирхгофа.

Физический смысл этого правила — закон сохранения заряда (количества электричества): в цепях постоянного тока заряды не накапливаются.

Из системы (4.37) можно исключить тривиальные случаи, когда проводник не имеет соединения с другими проводниками: соответствующее такому проводнику уравнение утверждает равенство втекающего в проводник и вытекающего из него тока, т. е. равенство токов соединенных с ним элементов.

Для дальнейшего отметим некоторые свойства (4.35), (4.36). Выделим в выражении для электрической мощности (4.36) неизвестные потенциалы. Тогда

где использовано, что = -Е^, и обозначено

Если ввести f = (Ф12,...,Фдг) — вектор-столбец неизвестных потенциалов, то выражение (4.39) можно записать как

где Y — матрица квадратичной формы (4.35), a g — связанный с Е^ вектор:

и суммирование проводится по всем элементам, соединенным с Км проводником.

Рассмотрим свойства матрицы Y. Во-первых, из (4.42) следует, что эта матрица — симметричная. Во-вторых, если все Е^ = О, то из выражения для мощности (4.34) ясно, что, если при этом и все Ф, = const, то W = 0 и, значит, Y — вырожденная. В то же время из тех же выражений ясно, что если хотя бы два значения Ф„ Ф; различны, то W > 0. Значит, Y — симметричная неотрицательная матрица ранга N - 1.

Минимум квадратичной формы (4.41) достигается при

Несмотря на то что матрица Y вырожденная, система совместна. Докажем это. Прежде всего заметим, что из (4.42) следует, что суммы всех элементов любого столбца матрицы Y равны нулю. Тогда матрица, как линейное преобразование, производит отображение любого вектора в подпространство векторов с равной нулю суммой элементов. Но и вектор g принадлежит этому подпространству, что нетрудно видеть из (4.42) и антисимметричности Е^у Поскольку ранг матрицы равен N - 1, то в рассматриваемом подпространстве матрица Y не вырождена, т. е. система (4.43) имеет единственное решение, ортогональное ненулевому решению (4.43) с нулевой правой частью.

Оценим точность приближенного решения. Обозначим решение (4.43) как f0, тогда для произвольного пробного f имеем

Используя (4.43), получаем

Таким образом, разность мощностей приближенного и точного решения есть «физическая норма» вектора разности пробного и точного решения.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>