Полная версия

Главная arrow Информатика arrow Введение в математическое моделирование

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Уравнение для потенциала электрического поля

Получим уравнение для потенциала электрического поля из вариационного принципа. Выделяемая в проводнике мощность

где dv — элемент объема проводника V.

Аналогично тому, как мы делали в предыдущем параграфе при выводе правил Кирхгофа, получим две формулировки вариационного принципа и, соответственно, два уравнения. Сначала сформулируем принцип Дирихле, для чего выразим мощность через электрический потенциал:

Далее, при варьировании получившегося функционала, используем, что для достаточно произвольных полей Ф(г) и А(г)

Тогда

и с помощью теоремы Остроградского — Гаусса получаем:

Из требования экстремальности 8W(0) = 0 и произвольности 8Ф(г) в объеме проводника следует, что

и для дальнейшего отметим

Таким образом, из вариационного принципа экстремальности выделяемой в проводнике мощности, сформулированного через поле электрического потенциала, следует уравнение непрерывности поля электрического тока. Это уравнение также можно рассматривать как закон сохранения электрического заряда: если его проинтегрировать по произвольному объему V в объеме проводника, то

— поток заряда через поверхность такого объема равен нулю — в стационарном случае в каждой точке внутри проводника заряд сохраняется.

Рассмотрим теперь уравнение (4.72). Обычно при формулировке принципа Дирихле полагают 5Ф(г) = 0 на поверхности проводника, т. е. потенциал на поверхности проводника считается заданным. На самом деле, как легко увидеть, для тех частей поверхности проводника, для которых j(г) • ds = О, можно не задавать потенциал. Такие условия называются естественными граничными условиями. Это верно для тех частей поверхности, через которые ток не протекает (Г3 на рис. 4.4). Те же граничные условия, где на части границы задан потенциал, называются главными.

Докажем теперь, что функционал (4.67) имеет минимум, причем единственный. Для этого рассмотрим тождество

Преобразуя последний интеграл с помощью теоремы Остроградского — Гаусса, получаем

и, если Ф0(г) удовлетворяет уравнению (4.71), 0 < р(г) < ©о и и (г) = 0 на той части границы проводника, где grad^0(r)) • ds Ф О, то

откуда следует единственность решения на пространстве функций, удовлетворяющих главным граничным условиям, квадраты градиентов которых интегрируемы в объеме проводника. Также теперь очевидно, что функционал (4.67) имеет минимальное значение на точном решении задачи электростатики для потенциала, удовлетворяющего уравнению (4.71) и всем граничным условиям.

Здесь следует отдельно отметить два математических вопроса:

  • 1) о существовании и единственности решения уравнения (4.71) при заданных граничных условиях;
  • 2) о существовании функционала НДФ0) для этого решения.

Мы не будем здесь останавливаться на этих весьма объемных

вопросах, однако отметим, что с физической точки зрения обычно рассматриваются только решения с конечной энергией, в данном случае — мощностью. С этой точки зрения решение уравнения (4.71) можно рассматривать как решение задачи, если для этого решения мощность конечна. В противном случае нужно рассматривать решение уравнения (4.71) как обобщенное, на котором функционал мощности имеет инфинум на рассматриваемом классе функций. Практически это означает, что для осмысленности вариационной формулировки задачи достаточно существования хотя бы одной функции с конечной мощностью, удовлетворяющей главным граничным условиям.

Расчет поля электрического тока в параллепипеде

В качестве примера рассмотрим задачу расчета поля электрического тока в параллепипеде, один из углов которого прямой (рис. 4.5). Сторона с параллепипеда перпендикулярна плоскости, образуемой сторонами а и Ъ. В этой плоскости введем две ортогональные системы координат, как показано на рис. 4.6, чтобы границы основания параллепипеда были координатными поверхностями одной из систем координат. Из соображений симметрии очевидно, что потенциал Ф может зависеть только от проекции положения точки на рассматриваемую плоскость, что существенно упрощает задачу.

Проводящий параллепипед

Рис. 4.5. Проводящий параллепипед

Системы координат

Рис. 4.6. Системы координат

Во введенных нами координатах главные граничные условия заданы на координатных поверхностях х' = 0 и х' - bcos(a - тт/2). Поэтому в качестве самого простого приближения удобно считать Ф = Ф(х'). При этом мы, естественно, не сможем удовлетворить граничным условиям непротекания тока на поверхностях Г3 и Г4. Но эти граничные условия — естественные, при применении вариационного принципа удовлетворять их необязательно. Тогда

Варьируя этот функционал, получаем

и после традиционного интегрирования по частям, считая, что 5Ф = 0 на границах интегрирования, приходим к уравнению

Его решение, удовлетворяющее граничным условиям:

На рассматриваемом классе пробных потенциалов, удовлетворяющих главным граничным условиям и зависящих только от х', минимум функционала W(O) получается в случае линейной зависимости (4.80). Он равен

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>