Полная версия

Главная arrow Информатика arrow Введение в математическое моделирование

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Слеп физик без математики.

М. В. Ломоносов

Модели частиц

Физические явления, которые адекватно описываются классической и квазиклассической теорией, можно моделировать с помощью моделей частиц. В принципе, любую классическую систему можно описать, зная положения и скорости составляющих ее частиц и закон их взаимодействия. К сожалению, из-за очень большого числа частиц детальное описание многих физических систем представляется бесполезным как для понимания самой системы, так и для численного моделирования. Практическое значение имеют модели, которые достаточно детализированы, чтобы воспроизвести важные физические эффекты, и все же не настолько подробны, чтобы сделать расчеты неосуществимыми.

Рассмотрим построение математической модели в случае, когда каждая частица физической системы имеет шесть степеней свободы, т. е. состояние системы описывается набором положений и скоростей частиц: гp(t) = {xp(t), yp(t), zp(t)}, vp(t) = vp(t), wp(t)},

p = 1, ..., N. Сила Fp(t), действующая на частицуp, равна сумме сил, обусловленной остальными N - 1 частицами и внешними силами. В случае парного взаимодействия между частицами выражение для силы мы запишем в следующем, довольно общем виде:

где fpn — сила, с которой частица п действует на частицу р, а грп — расстояние между этими частицами. Хорошо знакомым примером служит закон Кулона, описывающий силу взаимодействия двух заряженных частиц в виде

Примером силы g(v) может служить сила Лоренца, действующая на частицу с зарядом q, которая движется со скоростью v, при наличии магнитного поля В:

Часто динамика частиц описывается уравнением движения Ньютона

где rp(0), vp(0) заданы, р = 1, ...,N;mp — масса частицы. Описание физических систем завершается заданием начальных и граничных условий. Граничные условия определяют внешние силы и объем пространства (расчетную область), в котором движутся частицы.

С математической точки зрения уравнения движения (5.2) представляют собой задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Так как функция Fp(rp, vp), как правило, нелинейная и система может состоять из большого числа уравнений, то аналитическое решение этой системы невозможно.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>