Полная версия

Главная arrow Информатика arrow Введение в математическое моделирование

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

МОДЕЛИРОВАНИЕ В БИОЛОГИИ

Существует множество приложений математики к биологии...

Эти приложения математики могут уяснить различные интересные данные, важные в настоящее время для биологов.

В. Волътерра

Модель отношений в системе «хищник — жертва»

Одной из форм взаимодействия видов в пищевых цепях и сетях является хищничество, при котором отдельная особь одного вида (хищник) питается организмами (или частями организмов) другого вида (жертвы), причем хищник живет отдельно от жертвы. Эти два вида организмов вовлечены в отношения типа «хищник — жертва». Длительное совместное существование хищников и жертв приводит к формированию взаимодействия, при котором обе группы устойчиво сохраняются на территории обитания. Нарушение такой системы часто приводит к отрицательным экологическим последствиям.

Модель Лотки — Вольтерры

Рассмотрим наиболее простую систему «хищник — жертва» состоящую из двух видов. Математическая модель отношений в этой системе будет строиться на следующих предположениях:

  • 1) численности популяций жертв х и хищников у зависят только от времени. Пространственное распределение популяции на занимаемой территории не учитывается;
  • 2) если виды не взаимодействуют, то их численность изменяется по модели Мальтуса

при этом число жертв увеличивается, а число хищников падает, так как им в этом случае нечем питаться (а > О, b > 0);

  • 3) естественная смертность жертвы и естественная рождаемость хищника не учитываются;
  • 4) эффект насыщения численности обеих популяций не учитывается;
  • 5) скорость роста численности жертвы уменьшается пропорционально численности хищников, т. е. величине су, с > 0, а скорость роста хищников увеличивается пропорционально численности жертвы, т. е. величине chc, d > 0.

Объединяя предположения 1—5, получим систему уравнений Лотки — Вольтерры

Задавая начальные численности

можно определить численность популяции в любой момент t > 0.

Уравнения (7Л) имеют положение равновесия, стационарное, не зависящее от времени решение

Если

то во все моменты времени численности популяций не меняются. При малом отклонении от положения равновесия численности как хищника, так и жертвы с течением времени не возвращаются к равновесным значениям. При этом динамика численности популяций описывается уравнением колебаний (2.3).

Рассмотрим типичную фазовую траекторию и зависимость численности популяций жертвы и хищника от времени в случае большого отклонения от положения равновесия (рис. 7.1 и 7.2). В нашем случае фазовая траектория есть совокупность точек на фазовой плоскости (х,у), положение которых соответствует состояниям системы в процессе изменения во времени переменных x(t), у(t).

Фазовая траектория системы (7.1) представляет собой замкнутую линию, поэтому мы имеем дело с периодическим процессом. Численности популяций жертвы и хищника совершают периодические колебания вокруг положения равновесия. Амплитуда колебаний и их период определяются начальными значениями х0 иу0.

Фазовая траектория системы (7.1)

Рис. 7.1. Фазовая траектория системы (7.1):

параметры системы — а = 1, b = 1, с = 0,01, d. = 0,01, х0 = 50, у0 = 50,

х$ 100, у$ - 100

Зависимость численности популяций жертвы и хищника от времени для

Рис 72. Зависимость численности популяций жертвы и хищника от времени для

системы (7.1):

параметры системы — а = 1, Ъ = 1, с = 0,01, d = 0,01, х0 - 50, у0 = 50,

= 100, ys = 100

Модель (7.1) не учитывает внутривидовую конкуренцию, которая возникает из-за ограниченности ресурсов экологической ниши, занимаемой популяцией жертв. При внутривидовой конкуренции возникает эффект насыщения для популяции жертв. Тогда уравнения (7.1) преобразуются к виду

Эффект насыщения описывается слагаемым -ех2. В этом случае фазовые траектории имеют вид спиралей, сходящихся с течением времени к положению равновесия, а амплитуда колебаний уменьшается с течением времени и стремится к стационарному решению при t —> оо (рис. 7.3 и 7.4).

Фазовая траектория системы (7.2)

Рис. 7.3. Фазовая траектория системы (7.2):

параметры системы — а = 1, b = 1, с = 0,01, d = 0,01, е = 0,005, х0 = 50, У о = 50, xs = 100, ys = 50

Основная особенность модели Лотки — Вольтерры, благодаря которой она стала классической, состоит в том, что на основе очень упрощенных представлений о характере закономерностей, описывающих поведение системы, было описано возникновение в системе колебаний плотности популяций.

Недостатком модели является то, что она не учитывает принципиальные свойства, характерные для любой пары взаимодействующих по принципу «хищник — жертва» популяций: эффект насыщения хищника, ограниченность ресурсов жертвы и хищника и др.

Зависимость численности популяций жертвы и хищника от времени для

Рис. 7.4. Зависимость численности популяций жертвы и хищника от времени для

системы (7.2):

параметры системы — а = 1, b = 1, с = 0,01, d = 0,01, е = 0,005, х0 = 50, у0 = 50, х$ = 100, ys = 50

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>