Полная версия

Главная arrow Техника arrow Гидравлика и теплотехника

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Дифференциальные уравнения движения жидкости

Рассмотрим установившийся поток идеальной жидкости, движущийся без трения. Как и при выводе дифференциальных уравнений равновесия Эйлера, в потоке движущейся жидкости выделяется элементарный параллелепипед и рассматривается равновесие проекций сил на оси координат. Согласно основному правилу динамики, сумма проекций, действующих на элементарный объем, равна произведению массы жидкости на ее ускорение:

Расписав субстанциональные производные проекций скоростей потока по осям пространственных координат:

и произведя сокращения, получим для соответствующих проекций дифференциальные уравнения жидкости для неустановившегося потока:

dw dw cHv

Для установившегося потока: —— = 0, —— = 0, —- = 0, тогда:

ОТ ОТ ОТ

Системы уравнений представляют собой дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера для неустановившегося и установившегося потоков.

Как будет показано ниже, интегралом уравнений движения Эйлера для установившегося потока является уравнение Бернулли, нашедшее широкое распространение для решения многих технических задач.

Дифференциальные уравнения движения Навье-Стокса

При движении вязкой жидкости в потоке, кроме сил давления и тяжести, действуют также силы трения. Для трехмерного потока проекция равнодействующих сил трения на ось х имеет вид

Суммы проекций всех сил на оси координат должны быть равны произведению массы жидкости, заключенной в параллелепипеде, на проекции ускорения на оси координат:

После сокращения получим дифференциальные уравнения Навье-Стокса, описывающие движение вязкой капельной жидкости:

Соответствующие субстанциональные производные в уравнениях могут быть выражены как для неустановившегося, так и установившегося течения жидкости.

Правые части уравнений выражают произведение массы единицы объема р на проекцию ускорения, т.е. представляют собой равнодействующие сил инерции, возникающих в движущейся жидкости.

В левых частях произведение pg отражает влияние сил тяжести, частные др др др

производные - влияние сил гидростатического давления, а произведение вязкости на сумму вторых производных проекций скорости - влияние сил трения на движущую жидкость. Каждый член уравнения имеет размерность соответствующей силы, отнесенной к единице объема жидкости.

Полное описание движения вязкой жидкости возможно путем решения уравнений Навье-Стокса совместно с дифференциальным уравнением неразрывности потока. Однако уравнения Навье-Стокса не могут быть решены в общем виде.

Решение возможно либо для простых случаев при введении ряда допущений, либо после преобразования этих уравнений методами теории подобия.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>