Полная версия

Главная arrow Техника arrow Аксонометрические проекции

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Теорема Польке — Шварца

Если пространственный координатный угол, образованный плоскостями H,VnW, пересечь некоторой наклонной плоскостью М0, то эта плоскость не будет перпендикулярной ни к одной из осейХ, Y или Z, поэтому такая плоскость М0, как известно, может быть принята за плоскость аксонометрического проецирования (рис. 10). Пересекаясь с осями координат X, Y и Z и с плоскостями проекций Н, V и W, плоскость М0 выделяет треугольник AqBqQ, носящий название треугольника следов.

Проецируя параллельным пучком лучей оси координат X, Y и Z на плоскость М0, в зависимости от направления проецирующего луча R получим проекцию О0 начала координат О либо внутри треугольника следов (рис. 10 и 11), либо вне его (рис. 12 и 13).

Рис. 10

Рис. 12

В обоих случаях аксонометрические оси Х0, Y0 и Z0, исходя из точки О0, будут направлены к вершинам треугольника следов А0, В0 и С0. Ниже будет доказано, что в случае прямоугольного проецирования на плоскости М0 всегда получаем точку О0 внутри треугольника следов. В случае же косоугольного проецирования начало аксонометрических осей координат может оказаться как внутри треугольника, так и вне его (см. рис. 10 и 12).

Если в самом общем случае примем последнюю схему, то треугольник следов вместе с осями Х0, 70 и Z0 на плоскости М0 спроецируется в виде замкнутого четырехугольника OqCqBqAq с диагоналями О0В0 и Л0С0 (см. рис. 12 и 13).

Рис. 13

На рис. 11 и 13 отрезки аксонометрических осей Х0, У0 и Z0 между точкой О0 и вершинами треугольника следов представляют собой как бы три луча разной длины, исходящие из одной точки О0, являющейся началом аксонометрических осей.

Геометр К. Польке во второй половине XIX в. доказал теорему, явившуюся основой научного обоснования курса аксонометрических проекций. Эта теорема, известная под названием «Основного предложения аксонометрии», может быть сформулирована так.

Теорема Польке. Три отрезка любой величины0, у0 и %), исходящие из одной точки О0 и не сливающиеся в одну прямую линию (см. рис. 10), на некоторой плоскости0) могут быть приняты за параллельные проекции трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков пространства (х, у и z).

Таким образом, Польке доказал, что всегда можно найти такое положение трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков, исходящих из одной точки О в пространстве, например отрезков осей координат х, у и z, и такое направление проецирования, которые будут давать на некоторой плоскости М0 произвольно выбранную систему аксонометрических осей с отложенными на них отрезками х0, у0 и z0, величина которых была выбрана произвольно.

В дальнейшем геометру А. Шварцу удалось в шестидесятых годах XIX в. обобщить теорему Польке. Шварц на основании положений проективной геометрии доказал, что теорема Польке является лишь следствием более общей теоремы, гласящей следующее.

Теорема Польке — Шварца. Любой полный четырехугольник с диагоналями на плоскости может быть принят за параллельную проекцию некоторого тетраэдра, подобного любому данному тетраэдру.

Учтем, что три отрезка х, у и z, исходящие из одной точки О в пространстве, могут быть приняты за ребра тетраэдра, о котором и идет речь в теореме Шварца. Учтем также, что четырехугольник A0OqCqB0 (см. рис. 13) представляет собой проекцию тетраэдра OqAqBqCq на плоскости треугольника следов AqB0C0 (см. рис. 12). Для доказательства теоремы Польке — Шварца возьмем в пространстве тетраэдр ОАВС (рис. 14, а), образованный тремя произвольной величины и произвольного направления отрезками ОА, ОВ и ОС, исходящими из общей точки О и составляющими между собой в пространстве любые углы.

Шварц доказал, что можно выбрать такое направление параллельного проецирования R, при котором на некоторой плоскости М0 получим проекцию данного случайного тетраэдра ОАВС в виде полного четырехугольника OqAqBqCq (рис. 14, в), подобного любому заданному плоскому четырехугольнику OqAqBqCq (рис. 14, г).

Если это положение будет доказано, то можно направление трех случайных отрезков ОдА0, О0С0 и О0В0 на рис. 14, г принять за аксонометрические оси Х0, Уд и Z0, а величину этих отрезков считать пропорциональной соответствующим масштабным единицам ех, еу и ez.

Доказательство. Точку пересечения диагоналей А0С0 и О0В0 выбранного совершенно случайно плоского четырехугольника OqAqBqCq (см. рис. 14, г) обозначим через К0. На ребрах тетраэдра АС и ОВ (см. рис. 14, а) наметим две точки пит так, чтобы эти точки делили ребра АС и ОВ в том же пропорциональном отношении, в каком точка К0 на рис. 14, г делит диагонали А0С0 и О0В0 четырехугольника

OoAqBqCq.

Тогда для ребра АС напишем: и для ребра ОВ:

Рис. 14

Соединим теперь точку п с точкой т и направление линии пт примем за направление параллельного проецирования заданного тетраэдра. На рис. 14, а это направление зафиксировано стрелкой R. Тогда проецирующие лучи, касаясь ребер тетраэдра АВ, АО, ОС и СВ, образуют в пространстве четырехгранную проецирующую призму.

Рассекаем эту четырехгранную проецирующую призму плоскостью Q (рис. 14, б), перпендикулярной к ее ребрам, т. е. плоскостью Q, перпендикулярной к направлению проецирования R, и строим на плоскости Q проекцию тетраэдра АВСО. За счет проецирования по направлению стрелки R на плоскости Q (см. рис. 14, б) точки пит сольются в общую точку К', а вершины тетраэдра АВСО дадут проекции А', В', С и О'.

В результате на плоскости Q получаем замкнутый четырехугольник, диагонали которого будут разделены точкой К' на части, пропорциональные частям деления точками пит ребер тетраэдра АС и ОВ. Это получается за счет того, что при параллельном проецировании, как известно (см. параграф 1.1), пропорциональность частей отрезка в пространстве и проекций этих частей на плоскости проекций всегда сохраняется. После сказанного можно написать следующие соотношения:

Учитывая написанные выше соотношения (см. уравнения (5) и (6)), можно установить, что:

и

Таким образом, заключаем, что точка К' (см. рис. 14, б) делит диагонали А'С' и О'В' четырехугольника О'А'В'С в таком же отношении, в каком точка К0 делила диагонали А0С0 и О0В0 четырехугольника OqAqBqCq (рис. 14, г).

В специальной главе о свойствах родственных фигур в курсе начертательной геометрии доказывается, что два плоских четырехугольника О'А'В'С и OqAqBqOq, у которых диагонали делятся в одинаковом пропорциональном отношении, «родственны» между собой.

Там же доказывается теорема, что какой-нибудь плоский четырехугольник О'А'В'С (см. рис. 14, б), родственный некоторому четырехугольнику OqAqBqCq (см. рис. 14, г), можно рассматривать как ортогональную проекцию некоторого другого четырехугольника, подобного данному четырехугольнику OqAqBqCq.

Из сказанного заключаем, что можно подобрать такую плоскость М0, которая даст в сечении с нашей четырехгранной проецирующей призмой некоторый четырехугольник OqAqBqCq (см. рис. 14, в), не только родственный четырехугольнику OqAqBqCq, но и подобный ему. Получив в результате параллельного проецирования случайного тетраэдра ОАВС на некоторой плоскости М0 четырехугольник OqAqBqCq и затем увеличивая или уменьшая размеры этого четырехугольника OqAqBqCq с сохранением подобия, можно получить на плоскости М0 четырехугольник OqAqBqCq, не только подобный, но и в точности равный произвольно взятому четырехугольнику OqAqBqCq.

Таким образом, доказано, что произвольно взятый плоский четырехугольник OqAqBqCq (см. рис. 14, г) или, что то же самое, взятые совершенно случайно три отрезка OqA0 (отрезок аксонометрической оси Х0), OqBq (отрезок оси У0) и О0С0 (отрезок оси Z0), исходящие из общей точки О0 и направленные как угодно, оказались параллельными проекциями также совершенно случайного тетраэдра АВСО (см. рис. 14, а), образованного тремя случайными отрезками некоторой пространственной системы координат X (ОА), Y (ОВ) и Z (ОС).

Следствием из теоремы Польке — Шварца является теорема Польке, на основании которой три случайных отрезка OqA0, OqB0 и О0С0, исходящие из одной точки О0 на плоскости, могут являться параллельной проекцией трех равных отрезков, отложенных на трех ребрах прямого трехгранного координатного угла в пространстве. Доказанная Шварцем теорема дала обобщенное теоретическое обоснование методу аксонометрических проекций, разработанному Фэричем за 40 лет до этого.

Здесь нелишним будет отметить, что профессором Московского университета Н. А. Глаголевым дано в 1924 г. дальнейшее обобщение теоремы Польке — Шварца. Глаголев показал, что сама теорема Польке — Шварца, касающаяся вопроса о проецировании тетраэдра, является лишь предельным случаем весьма общего предложения о любых двух аффинных пространственных формах.

Н. А. Глаголев для некоторых случаев установил те условия, которым должны удовлетворять различные проекции вершин соответствующего многогранника, и показал, что если даны аффинные поверхности, то каждую из них можно привести в параллельно-перспективное положение с поверхностью, подобной другой.

Применив эту теорему к тетраэдрам и заметив, что два тетраэдра всегда аффинны, получаем следующее предложение: всякий тетраэдр можно привести в параллельно-перспективное положение с тетраэдром, подобным любому данному. Н. А. Глаголев показал, что теорема Польке — Шварца является предельным случаем только что указанного свойства тетраэдров.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>