Полная версия

Главная arrow Техника arrow Аксонометрические проекции

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Прямоугольные аксонометрические проекции

Если направление параллельного проецирования, отмеченное на рис. 1 стрелкой R, составляет с плоскостью аксонометрических проекций М0 прямой угол, то на этой плоскости М0 получаются оси

Х0, У0 и Z0, представляющие собой прямоугольную аксонометрическую проекцию координатных осей пространства X, Y и Z (см. рис. 1, а). Любой предмет, отнесенный в пространстве к координатной системе X, Y и Z и спроецированный затем параллельным пучком лучей по направлению стрелки R, представится при этом на плоскости М0 также в виде его аксонометрической проекции, отнесенной к аксонометрическим осям Х0, Y0 и Z0.

Докажем несколько основных положений метода прямоугольного аксонометрического проецирования.

Положение 1. В случае прямоугольного проецирования прямого трехгранного угла, образованного осями пространства X,Y и Z, на аксонометрическую плоскость проекций AqB0C0 по схеме, представленной на рис. 16, начало аксонометрических проекций (точка О0) лежит в ортоцентре треугольника следов AqB0C0.

Рис. 16

Другими словами, надо доказать, что аксонометрические оси Х0, Y0 и Z0 при прямоугольном проецировании совпадают с направлением высот треугольника следов AqB0C0. Проецирующие лучи на рис. 16, направленные по линии ОО0, встречают плоскость треугольника следов AqBqCq в точке О0 под прямым углом. Встречая на своем пути ось Z и направляясь перпендикулярно к плоскости AAqB0C0, эти лучи образуют внутри трехгранного угла заштрихованный треугольник С0О/. Докажем, что сторона CJ этого треугольника, совпадающая с направлением аксонометрической оси Z0, представляет собой высоту треугольника следов AqBqCq.

Плоскость АА0В0С0 по условию наклонена под некоторым углом к плоскости Н, проходящей через оси пространствах и Y, т. е. к плоскости АА0ОВ0, и сторона AqB0 треугольника следов AqB0C0 служит ребром двугранного угла, составленного этими плоскостями, т. е. угла, составленного плоскостью треугольника следов AqB0C0 с плоскостью Н.

Надо установить, что ось Z0 направлена перпендикулярно к стороне AqBq. Докажем это.

По условию ось пространства Z (см. рис. 16) направлена перпендикулярно к плоскости Н, ограниченной на рис. 16 отрезками ОА0 и ОВ0 осей пространства X и 7.

Проецирующая плоскость AOCJ проходит через отрезок ОС0 оси Z, поэтому плоскость ОС(/также перпендикулярна к отсеку плоскости Н, ограниченному треугольником А0ОВ0. Вместе с тем плоскость АОСAqB0C0, так как по условию имеем дело с прямоугольным проецированием на плоскость AAqBqCq по направлению ОО0.

Следовательно, плоскость АОС(/ перпендикулярна одновременно к обеим граням двугранного угла пространства, образованного плоскостями AOAqBq и АА0В0С0. Такая плоскость, как известно из геометрии, должна оказаться перпендикулярной и к ребру AqB0 этого двугранного угла. Раз это так, то линия пересечения/С0 плоскостей AOCJ и АА0В0С0, совпадающая с направлением аксонометрической оси Z0, также будет перпендикулярна к линии AqB0, т. е. линия/С0 есть высота треугольника следов AqB0C0.

Проводя те же рассуждения для двух других осей пространственного трехгранного угла OA0CqB0, придем к выводу, что аксонометрические оси Х0 и Y0 также являются высотами треугольника следов AqB0C0 и, следовательно, точка О0, принадлежа одновременно трем аксонометрическим осям Х0, У0 и Z0, должна лежать в ортоцентре треугольника следов AqBqCq (рис. 17), что и требовалось установить.

Рис. 17

Положение 2. Треугольник следов AqBqCq в случае прямоугольного проецирования координатного трехгранного угла, составленного тремя взаимно перпендикулярными осями X, Y, Z, есть треугольник остроугольный.

Представим себе, что точки А0 и С0 треугольника следов А0В0С0 (см. рис. 16) закрепили неподвижно, а точку В0 начинаем перемещать по направлению оси Y к началу координат О. В этом случае ZB0 AAqBqCq начинает непрерывно увеличиваться, и только когда точка В0 совпадет с точкой О, ZB0 превратится в прямой, так как в этом случае его сторона AqBq совместится с осьюХ (отрезок Л0О), а другая сторона CqB0 сольется с осью Z (с отрезком ОС0). Если же, наоборот, точка В0 AAqBqCq при неподвижных точках Л0 и С0 начнет двигаться по оси Y, удаляясь от точки О, то линейный угол В0 будет непрерывно уменьшаться, потому что он представляет собой сечение прямого координатного угла пространства секущей плоскостью А0В0С0, наклон которой к ребру ОВ0, т. е. к оси Y, будет непрерывно уменьшаться. На основании сказанного приходим к выводу, что ZB0 должен быть острым. Если те же самые рассуждения провести в отношении ZA0 и ZC0, то придем к выводу, что и эти углы в данном случае должны оказаться углами острыми. Следовательно, можно заключить, что треугольник следов AqB0C0 в случае прямоугольного проецирования прямого трехгранного координатного угла OXYZ есть треугольник остроугольный (см. рис. 17).

Положение 3. В случае прямоугольного проецирования прямого трехгранного координатного угла OAqB0C0 аксонометрические оси Х0, Y0 и Z0 составляют между собой тупые углы.

Докажем, что Zo)3 (см. рис. 17) — угол тупой.

Выше было доказано, что ось Х0, а следовательно и линия А0е есть высота AAqBqCq, следовательно ZA0eB0 = 90° и А0е _L CqBq.

На том же основании линия dB00С0.

Таким образом, ZC0 AAqB0C0 имеет стороны CqB0 и А0С0, перпендикулярные к сторонам А0е и dB0 угла еОоВ0 ф и, следовательно, эти углы равны, т. е. ZC0 = Zcp.

Выше было доказано, что треугольник следов AqB0C0 есть треугольник остроугольный, поэтому ZC0 — угол острый. Раз это так, то равный ему ZeOoB0 = Z(p также есть угол острый.

Но острый угол еОоВ0 = Zcp в данном случае составляет дополнение Zco3 до 180°, поэтому окончательно можно установить, что Zco3 должен быть тупым, что и требовалось доказать.

Проводя те же рассуждения для ZA0O0C0 = Zco1 и ZB0O0C0 = Zco2, убедимся, что и эти два угла могут быть только тупыми. Таким образом, осиХ0, Y0 и Z0 прямоугольных аксонометрических проекций могут составлять попарно между собой только тупые углы. Это положение справедливо, конечно, только в том случае, если проецируемые координатные оси X, Y и Z в пространстве составляли между собой прямой трехгранный угол.

Резюмируя сказанное выше, приходим к выводу, что любые выбранные произвольно на плоскости три отрезка х0, у0 и z0, исходящие из одной точки О0, могут быть приняты за направления осей прямоугольной аксонометрической проекции только в том случае, если эти отрезки составляют между собой попарно тупые углы.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>