Полная версия

Главная arrow Техника arrow Аксонометрические проекции

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Показатели искажения прямоугольной аксонометрической проекции

На рис. 16 дан тетраэдр с прямым трехгранным углом около точки О. Треугольная грань AqBqCq этого тетраэдра представляет собой треугольник следов на плоскости аксонометрического проецирования. Обозначим ZOqOAq, составленный пространственной осью X с направлением аксонометрического проецирования ОО0, через а. Угол наклона оси Y к линии ОО0 обозначим через (3, угол наклона оси Z к линии ОО0 — через у и рассмотрим треугольники А0О0О, В0О0О и С0О0О. Линия ОО0 направлена перпендикулярно к плоскости AAqB0C0, поэтому все три перечисленных треугольника являются треугольниками прямоугольными с прямыми углами около вершины О0. Гипотенузами этих треугольников являются отрезки А0О, В0О и С0О осей X, Y и Z, отсекаемые треугольником следов AqB0C0, а отрезки А0О0, В0О0 и С0О0 осей Х0, Y0 и Z0 служат катетами треугольников А0О0О, В0О0О и С0О0О соответственно.

На основании сказанного можно написать:

Отсюда

Отношение показывает, в каком отношении изменился от-

А)0

резок ОА0, отложенный на оси X, при аксонометрическом проецировании его на плоскость ДА0В0С0, а следовательно, как известно из предыдущего, это отношение 0 представляет собой показатель искажения рх.

Два остальных отношения дают показатели ру и pz искажений для осей У0 и Z0.

Следовательно, можно написать:

Если бы по каждой оси X, Y и Z в пространстве отложить отрезок, равный некоторой единице длины, например е = 1 см, то на аксонометрических осях получили бы аксонометрические масштабные единицы ех, еу и ez.

Выше было установлено, что

В нашем случае

поэтому для данного случая можно определить, что или окончательно

Следовательно, чтобы получить величину аксонометрических единиц ех, еу и ez, нужно величину масштабной единицы е умножить соответственно на sin a, sin (3 и sin у. Таким образом, согласно уравнениям (20) показатели искажения прямоугольной аксонометрии представляют собой синусы углов наклона координатных осей пространства X, Y и Z к направлению аксонометрического проецирования ОО0.

Так как плоскость AAqB0C0 наклонена ко всем трем осямХ, Y и Z, то, следовательно, а, (3 и у — углы острые, поэтому показатели искажения рх, р и pz представляют собой правильные дроби.

Из сказанного можно сделать заключение, что при прямоугольном проецировании все отрезки, направленные параллельно осям пространства X, Y и Z, уменьшают свою величину, и для того, чтобы получить размер I аксонометрической длины какого-нибудь отрезка L, необходимо умножить истинную величину заданного отрезка на соответствующий показатель искажения, например:

где lXQ,lyo,lZQ — аксонометрическая длина отрезков, отложенных в пространстве параллельно осям X, Y или Z.

Обращаясь к рис. 18, можно написать несколько соотношений, связывающих между собой показатели искажения рх, р и pz. Для этого совместим прямой угол пространства А0ОВ0 с плоскостью треугольника следов А0В0С0, вращая АА0ОВ0 вокруг стороны А0В0. В совмещенном треугольнике Л0О1В0 угол у вершины Ог — прямой, поэтому окружность, описанная на стороне AqB0 как на диаметре, должна пройти через точку Ог. Выше было указано, что 0/_1_ А0В0, поэтому в совмещенном положении отрезок также будет перпендикулярен к А0В0, и, следовательно, на основании соответствующей теоремы из курса геометрии отрезок О/— средняя пропорциональная между отсекаемыми точкой /частями диаметра AqB0:

или

-2 -2 -2

Из АА(/О0 запишем Д)/ +01f =Ai0Ol , или

Рис. 18

Из ABJOq найдем также, что

Подставив найденные величины AJ и fB0 из уравнений (23) и (24) в уравнение (22), имеем:

Возводим обе части в квадрат и получаем:

Производим умножение и получаем:

-2

Собираем члены, содержащие Ог/ , в левую часть:

После сокращения имеем

-г2 -

Выносим Oif за скобку:

—-2

Определяем значение :

В прямоугольном треугольнике А0О0О угол О0ОА0 = ос, поэтому откуда

В прямоугольном треугольнике В0О0О угол О0ОВ0 = (3, поэтому откуда

Стороны ZO0OC0 = Zy перпендикулярны к сторонам ZOq/O, поэтому ZOJO = Zy.

Из прямоугольного треугольника OOJ можно написать, что катет откуда

Подставив найденные значения OAq,OB0 и Of в уравнение (25), получим

Делаем преобразование:

После сокращения имеем: или

или

откуда находим:

Но

поэтому

откуда окончательно

Раньше (см. уравнение (20)) было показано, что поэтому приходим к выводу, что

В результате сделанных вычислений видим, что в случае прямоугольного аксонометрического проецирования (триметрического, ди- метрического или изометрического) сумма квадратов показателей искажения по осямХ0, Y0 и Z0 должна равняться 2.

Раньше (см. параграфы 1.2 и 1.7) установлено, что

Поэтому на основании уравнения (30)

или

откуда

Пользуясь выведенной формулой, можно определить натуральный размер масштабной единицы для прямоугольного проецирования, если известны три аксонометрические масштабные единицы ех, еу и е2. Если принять е = 1, то из уравнения (31) получим:

Зависимость (31) или аналогичную ей (32), связывающие между собой натуральную масштабную единицу е и аксонометрические масштабные единицы ех, еу и е2, можно представить графически следующим образом (рис. 19).

На отрезках аЪ = ех и ас = еу строим прямоугольный треугольник аЪс.

Гипотенуза Ъс Дabc может быть определена по теореме Пифагора:

Далее на отрезке be = + ej, и на отрезке ez, как на катетах, строим

второй прямоугольный треугольник bed, гипотенуза bd которого определится из уравнения

Наконец, на отрезке bd строим равнобедренный прямоугольный треугольник bfd, каждый катет которого и даст величину искомой натуральной масштабной единицы е.

Рис. 19

Действительно, обозначив через е катеты bf и df равнобедренного прямоугольного треугольника bdf, имеем:

или

откуда окончательно имеем:

что и требовалось получить.

Выше (см. уравнение (20)) было доказано, что

поэтому

Но sin2 а < 1, поэтому следовательно:

Эти три неравенства показывают, что на отрезках е2, е2 и е2 всегда можно построить треугольник, так как сумма любых двух из них, как видим, всегда больше третьего.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>