Полная версия

Главная arrow Техника arrow Аксонометрические проекции

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Способы построения эллипса

Для изложения дальнейшей части курса необходимо вспомнить способы построения эллипсов.

На рис. 20 и 21 показаны способы построения эллипса по его главным осям, а на рис. 22, 23, 23' даны способы построения эллипса по двум сопряженным диаметрам а0Ь0 и c0d0.

Напомним, что диаметр а0Ь0 (см. рис. 22), сопряженный данному диаметру c0d0, делит пополам хорды, параллельные диаметру c0d0, и наоборот.

Для построения эллипса по заданным его главным осям на рис. 20 описаны две вспомогательные окружности.

Диаметр большой окружности принят равным большой оси эллипса, а диаметр малой окружности равен малой оси эллипса.

Рис. 20

Разделив большую окружность на произвольное число частей, намечаем на ней точки 1, 2, 3, 4, ... . Соединяя затем точки 1, 2, 3, 4, ... . с центром О, получаем на малой окружности точки 1 2Ь 3 4 ... .

Закончив это предварительное построение, проводим из точек 1, 2, 3, 4, ... вертикальные линии, а из точек 115 2 3 4 ... горизонтальные линии до пересечения с проведенными уже из точек 1, 2, 3, 4, ... вертикальными линиями.

Полученные в местах пересечения точки 10, 20, 30, 40, ... соединяем по лекалу и этим самым намечаем очертание эллипса, отвечающего заданным осям а0Ъ0 и c0d0 (см. рис. 20). Нетрудно видеть, что проделанное построение сводится по существу к построению эллипса как фигуры, родственной двум построенным окружностям. Действительно, если принять большую ось эллипса а0Ь0 за ось родства, а точки с0 и с, расположенные на продолжении малой оси, — за родственные точки при совмещенных центрах родственной окружности и эллипса в точке О, то можно рассматривать точки эллипса 10, 20, 30, 40, ... как точки, родственные точкам окружности 1, 2, 3, 4, ... .

В самом деле, если обозначить большую полуось а0О эллипса через R, а малую полуось с0О — через г, то

Рис. 21

Рис. 22

'

Рис. 23'

Нетрудно усмотреть, что точно в таком же отношении точки 10, 20, 30, 40, ... делят хорды, параллельные вертикальной оси сО. Например, для точки 10 из подобия треугольников HjIq и 1 On (см. рис. 20) можно написать такое же соотношение:

На рис. 21 показан другой способ построения эллипса по его главным осям.

В данном случае эллипс строится при помощи ключа пропорциональности (рис. 21, а). Для построения ключа откладываем по горизонтальной линии отрезок от произвольной величины и в точке о на перпендикуляре ос" к линии от откладываем размеры большой и малой полуосей эллипса. Намеченные в результате этого построения точки q и с" соединяем с точкой т. Делим далее отрезок от на несколько частей точками 1, 2, 3 и, проводя через точки деления 1, 2, 3 вертикальные линии 1 — 1", 2 — 2", 3 — 3", намечаем на линиях тс1 и тс" отрезки, пропорциональные отрезкам линии от.

После построения ключа пропорциональности переходим к определению точек 10, 20, 30, принадлежащих эллипсу.

Для этой цели описываем радиусом о0а0 окружность (рис. 21, б) и, перенося на нее точки 1", 2", 3",..., намечаем точки 1', 2', 3',... . После этого точки эллипса 10, 20, 30, ... будут найдены в местах пересечения вертикальных линий 1' — 10, 2' — 20, 3' — 30, ... с горизонтальными линиями 1х — 10, 2г — 20, 31 — 30, ... .

Убедиться в том, что фигура а01о2030с030... есть эллипс, можно следующим способом.

Принимаем ось а0Ь0 за ось абсцисс X, а ось о0с' —за ось ординат Y.

Тогда можно будет написать для какой-либо точки эллипса, например для точки 30, и соответствующей точки (3'), отношение ординат в таком виде:

Здесь

Подставляя эти значения в уравнение (34), получаем откуда

Следовательно, для данного ключа отношение ординат точек окружности 7', 2', 3',... к ординатам точек кривой 10, 20, 30,... есть величина постоянная. Уравнение окружности может быть выражено через координаты X и Y принадлежащих ей точек, в частности через координаты точки 3', следующим образом:

Подставляя сюда значение уу, выраженное через ординату ув (36), получим:

или после преобразования будем иметь

т. е. уравнение эллипса, имеющего полуоси: что и требовалось доказать.

На рис. 22 показано построение эллипса по его двум сопряженным диаметрам а0Ь0 и c0d0, заданным по величине и по направлению. Нетрудно видеть, что в данном случае эллипс также рассматривается как фигура, родственная окружности, описанной на его диаметре а0Ь0. Направление родства определяется путем соединения точки окружности с с концом с0 сопряженного диаметра c0d0. Диаметр c0d0 в данном случае будет родственным диаметру окружности cd, а хорды 10 — 80, 20 — 70, 30 — 60, ... родственны соответственно одноименным хордам окружности. Точки эллипса 10, 20, с0, 30, 40, ... оказываются в этом случае родственными точкам 1, 2, 3, с, 3, 4, ... окружности. Число точек на окружности может быть взято произвольно.

На рис. 23 и 23' показан другой способ построения эллипса по двум его сопряженным диаметрам. Этот способ основан на свойствах аффинного преобразования отрезков сторон квадрата, описанного около окружности, в аффинно соответствующие им отрезки сторон паралле- лограма, построенного на сопряженных диаметрах эллипса, родственного данной окружности.

Осью родства на рис. 23 является линия a-Jo^ а направление родства параллельно линии ОО0.

Построение ведем в такой последовательности (см. рис. 23'):

  • 1) на сопряженных диаметрах а0Ь0 и c0d0 строим параллелограм ааjbjb;
  • 2) делим сторону параллелограма аЪ на равные части точками 1, 2, 3 и 4 и на столько же равных частей делим диаметр c0d0 точками 11 > 2j, и
  • 3) соединяем точки 1 и 2 с точкой а0, а точки 3 и 4 — с точкой Ь0;
  • 4) из точек а0 и Ь0 проводим штрихпунктирные линии через точки 1Ь 21 до пересечения с пунктирными линиями Ь04, Ь03, а01, а02;
  • 5) соединяем плавной чертой полученные точки пересечения 10, 20, 30, 40, ... и этим намечаем очертание искомого эллипса.

Построение главных осей эллипса

При построении косоугольной аксонометрической проекции окружности приходится определять величину и направление главных осей эллипса по заданным его сопряженным диаметрам (по величине и по направлению, см. табл. 37 в ч. 2).

В этом случае рекомендуется использовать следующий способ (рис. 24).

Рис. 24

Радиусом OY0 описываем четверть окружности и намечаем точку У0 Соединяем точку Yq с точкой Х0, являющейся концом сопряженного диаметраXqXq. Линию У00 продолжаем в обе стороны за точки У0' иХ0.

Делим пополам отрезок YqX0 и из полученной точки с, как из центра, проводим полуокружность через центр эллипса О.

Точки тип пересечения этой полуокружности с линией YqX0 лежат на главных осях эллипса. При этом отрезок тХ0 = а равен по величине большой полуоси эллипса От0, а отрезок пХ0 = b равен малой полуоси эллипса Ол0.

Вычерчивание эллипса при помощи кругов кривизны

Для приближенного построения эллипса можно применить прием, показанный на рис. 25. На главных осях т0т0 и п0п0 строим прямоугольник.

Соединив точку п0 с точками т0 и т0, опускаем на линии п0т0 перпендикуляры из точек а и Ь. Эти перпендикуляры в пересечении с главными осями намечают точки с, сг и с2, являющиеся центрами, из которых можно циркулем описать значительную часть очертания эллипса. Участки, отмеченные пунктиром, должны быть соединены при этом по лекалу или на глаз от руки.

Рис. 25

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>