Полная версия

Главная arrow Техника arrow Аксонометрические проекции

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Масштабный эллипс

В случае прямоугольного аксонометрического проецирования отрезки, параллельные координатным осям пространства X, Y и Z, изменяют величину в сторону уменьшения. Истинная величина какого-нибудь отрезка АВ (рис. 26), расположенного в пространстве параллельно, например, оси X, может быть получена, если его аксонометрическую проекцию AqB0 разделить на показатель искажения той оси, параллельно которой этот отрезок расположен. В данном случае проекцию AqB0 надо разделить на показатель искажения

Рис. 26

Получим

Полученное выражение АВ = 0 6 может быть представлено графически. ех

Для этой цели берем две прямые EF и ЕР (рис. 27), составляющие острый угол произвольной величины. Затем на стороне EF от точки Е откладываем масштабную единицу ех и на той же стороне EF также от точки Е откладываем измеряемую проекцию AqB0.

Рис. 27

На стороне ЕР откладываем натуральную единицу е и, проведя из точки т линию тп параллельно линии cd, получаем графически величину Еп, равную искомой истинной величине отрезка АВ, соответствующего отрезку AqB0. Действительно, на рис. 27 из подобия треугольников тЕп и cEd можно написать:

откуда

Для определения истинной величины отрезков, расположенных в пространстве под углом к осям X и Y, но в плоскостях, параллель-

Рис. 28

Опишем на плоскости Я из точки О окружность Е радиусом, равным натуральной величине масштабной единицы R - е. Эта окружность может быть принята за масштабный круг Е для плоскости Я. Проекция круга Е на аксонометрической плоскости в общем случае изобразится в виде некоторого эллипса Ен (см. рис. 28), которому в аксонометрии присвоено название масштабного эллипса для плоскости Я.

Следовательно, масштабный эллипс Ен на рис. 28 представляет собой в общем случае параллельную проекцию некоторого масштабного круга Е, описанного в пространстве на плоскости Н из точки О радиусом, равным масштабной единице е. За счет этого в случае прямоугольного проецирования большая ось ss' эллипса Ен на рис. 29 должна оказаться равной неискаженной величине диаметра D = 2е масштабного круга Е. Значит размер большой оси масштабного эллипса Ен в этом случае должен оказаться равным удвоенной масштабной единице.

Рис. 29

По направлению большая ось ss' масштабного эллипса Ен на рис. 29 должна расположиться перпендикулярно к оси Z0, потому что в пространстве ось Z перпендикулярна к любому диаметру масштабного круга Е, а следовательно, она будет перпендикулярна и к тому диаметру масштабного круга Е, проекцию которого изображает собой большая ось ss' эллипса Ен.

В то же время следует учесть, что большая ось масштабного эллипса есть проекция диаметра масштабного круга, параллельного плоскости треугольника следов, поэтому эта ось должна оказаться перпендикулярной не только к оси Z, но и к проекции оси Z на плоскости треугольника, т. е. аксонометрической оси Z0. Последнее может быть установлено на основании соответствующей теоремы из курса начертательной геометрии, по смыслу которой прямой угол проецируется на плоскости проекций без искажения в том случае, если хотя бы одна из его сторон была расположена параллельно этой плоскости проекций.

Из этого можно заключить также, что малая ось и' эллипса Ен (на рис. 29), будучи перпендикулярной его большой оси, должна совпадать с направлением аксонометрической оси Z0.

Если бы масштабные круги были описаны в пространстве из точки О на плоскостях V или W, то большие оси отвечающих им эллипсов Ev и Ew на плоскости аксонометрических проекций расположились бы перпендикулярно к осям Y0 и Х0, а малые оси этих эллипсов были бы направлены вдоль осей Х0 и 70.

На рис. 30 показан способ построения масштабного эллипса Ен для случая, когда известны направление и величина хотя бы одного его диаметра И' и размер большой оси ss'.

Рис. 30

По горизонтальному направлению влево и вправо от точки О0 откладываем величину е и этим намечаем конечные точки 5 и s' большой оси эллипса. На оси Х0 откладываем масштабную единицу ех и этим намечаем точки i и V, принадлежащие эллипсу Ен. Пользуясь точками s и ?, определяем размер tt' малой оси эллипса. Для этого из точки О0 радиусом е = O0s описываем большую окружность. Через точку ? проводим линию i/параллельно оси Z0. Соединив точку/с О0 и проведя из точки ? линию параллельно ss', получим точку g. Малая полуокружность, описанная из точки О0 радиусом 0$, дает возможность наметить точки t и t', принадлежащие концам малой оси масштабного эллипса.

После этого, пользуясь приемами, рассмотренными при изучении рис. 20 и 21, можно построить сколько угодно точек, принадлежащих искомому эллипсу.

Соединяя точки 5, s', t, t', i, ... по лекалу или циркулем (частями), получаем очертание масштабного эллипса Ен.

Пользуясь масштабным эллипсом Ен (см. рис. 29), можно определить истинную величину отрезков, расположенных произвольно в плоскостях, параллельных плоскости самого эллипса Ен. Для примера определим истинную величину отрезка AqB0 (см. рис. 29), расположенного в пространстве параллельно плоскости Н. На масштабном эллипсе Ен из точки О0 проводим линию О0к параллельно проекции AqB0 или а0Ь0. Отрезок О0к = г представит собой масштабную единицу для направления, параллельного AqB0. Выяснив размер масштабной единицы г, дальше можем поступить аналогично предыдущему случаю. Строим масштабный угол FEP (рис. 31) и на его сторонах откладываем размеры ц и е, где е — истинная величина масштабной единицы.

Рис. 31

После этого, отложив на стороне EF от точки Е размер AqB0, проводим линию тп параллельно линии cd. Тогда точка п на линии ЕР выделит отрезок Еп, являющийся искомой истинной величиной отрезка АВ, соответствующего аксонометрической проекции AqB0.

Нетрудно себе представить, что в самом общем случае можно на осях Х0, Y0 и Z0 начертить три масштабных эллипса Ен, Ev и Ew и, пользуясь этими эллипсами, определять истинную величину отрезков, расположенных произвольно в плоскостях, параллельных плоскостям проекций H,VnW. Шар, описанный вокруг этих трех эллипсов, даст возможность измерять истинную величину отрезков, расположенных произвольно в пространстве.

Определим для примера истинную величину случайного отрезка АВ, заданного на рис. 32 аксонометрической проекцией А0В0 и вторичной проекцией а0Ь0.

Рис. 32

На сопряженных диаметрах 2ех и у строим масштабный эллипс Ен для плоскости Н. Проводя в пределах эллипса Ен из точки О0 линию OqK параллельно проекции а0Ь0, получаем размер ц = OqK, равный масштабной единице для направления а0Ь0. Далее, пользуясь сопряженными диаметрами и 2ez, строим второй масштабный эллипс Ev в плоскости, параллельной отрезку АВ, и при помощи его определяем масштабную единицу для проекции AqB0. Эта масштабная единица X = OqL будет получена, если из точки О0 провести линию параллельно направлению AqB0. Масштабная единица O0L = X представляет собой проекцию радиуса масштабного шара, параллельного отрезку АВ.

Пользуясь размером масштабной единицы X, строим на рис. 33 угловой масштаб подобно предыдущему. Отрезок Еп будет представлять собой графически искомую величину отрезка АВ, расположенного случайно в пространстве.

Рис. 33

Второй масштабный эллипс Ец для нахождения точки L может быть построен одним из приемов построения эллипса по его сопряженным диаметрам, проходящим через масштабные единицы ец и ez. Эти приемы были рассмотрены на рис. 22 и 23'. Пользуясь масштабным эллипсом, можно решать многие типовые задачи начертательной геометрии, например задачи на построение заданных углов, деление утла на части, проведение перпендикуляра к прямой и др.

Для примера решим задачу на построение при помощи масштабного эллипса перпендикуляра к прямой.

Задача. К прямой АВ, расположенной в пространстве параллельно плоскости Н, восставить перпендикуляр в точке F. На рис. 34 прямая АВ задана аксонометрической проекцией AqB0 и вторичной проекцией а0Ъ0.

Рис. 34

Решение. Проводим в масштабном эллипсе диаметр тт1 а0Ь0 и строим сопряженный ему диаметр ппг Диаметр пп1 как сопряженный будет перпендикулярен в пространстве к диаметру тгщ. Поэтому, чтобы закончить решение поставленной перед нами задачи, следует провести из точки F0 линию F0D0 | | ппь и получим аксонометрическую проекцию FqD0 отрезка FD, перпендикулярного к АВ.

Для построения же сопряженного диаметра пп1 проводим любую хорду кк} | | mmj. Точка с, делящая пополам хорду кк}ает возможность определить направление диаметра ппь сопряженного диаметру ттг.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>