Полная версия

Главная arrow Техника arrow Аксонометрические проекции

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Теорема Вейсбаха*

Теорема. Аксонометрические оси Х0, Y0 и Z0 являются биссектрисами углов треугольника, стороны которого равны или пропорциональны квадратам аксонометрических масштабных единиц. 1 [1]

Эта теорема, выведенная Вейсбахом для прямоугольных аксонометрических проекций, дает возможность построить направление аксонометрических осей Х0, Y0 и Z0 при заданных аксонометрических масштабных единицах ех, еу и е2. Для доказательства теоремы Вейсбаха рассмотрим масштабный эллипс Ен, расположенный в плоскости Н0, проходящей через оси OqA0 и O0Y0 (рис. 35). Учитывая обозначения на рис. 35, будем иметь:

отрезки О0а = ех, О0Ь = еу, где ех, еу — масштабные единицы по осям Х0 и Yq соответственно.

Рис. 35

Пользуясь сопряженными диаметрами х и у эллипса строим круг, ему родственный. Ось родства выбираем совпадающей с большой осью эллипса. Центр эллипса и круга располагаем в точке О0.

Тогда на окружности можно наметить точки а' и Ъ', родственные точкам а и Ъ эллипса Ен.

Радиусы окружности О0а' и О0Ь' окажутся в этом случае взаимно перпендикулярными, так как они родственны двум сопряженным по- лудиаметрам О0а и О0Ь эллипса Ен.

Имеем: АО0а'А = АО0Ь'В, ибо О0а' = О0Ь' и оба острых утла образованы взаимно перпендикулярными сторонами.

Отсюда заключаем, что

Кроме того, на основании соотношений родства имеем

Перемножая два последних уравнения, имеем или

В АО0аЛ угол у вершины аZa, а гипотенуза О0а = ех, поэтому катеты равны

По тем же соображениям для АОоВЬ пишем соотношения:

Найденные значения для OqA, Аа, OqB и ВЬ подставляем в уравнение (38) и получаем:

откуда

Делая преобразование, имеем Но Za = 180 - сох и Z(3 = 180 - со2> поэтому что равносильно уравнению

Посредством таких же рассуждений найдем Из последних двух уравнений пишем:

Соотношение (39) подтверждает положение, высказанное Вейс- бахом, что аксонометрические оси представляют собой биссектрисы углов треугольника, стороны которого равны или пропорциональны квадратам аксонометрических масштабных единиц.

Чтобы в этом убедиться, возьмем (рис. 36) какой-нибудь треугольник PQR и предположим, что РО0, QO0 и RO0 есть биссектрисы углов Р = a, Q = Р и R = у.

Тогда согласно обозначениям на рис. 36 получим Но а + (3 + у = 180°, поэтому

Рис. 36

Следовательно,

или

Таким же образом получим

Стороны треугольника относятся как синусы противолежащих углов, поэтому

Подставляя найденные значения для углов а, (3 и у, имеем:

Это уравнение (40) тождественно с выведенным выше уравнением и в нем:

Следовательно, теорема доказана. Построив треугольник на квадратах масштабных единиц или на величинах, им пропорциональных, и разделив углы этого треугольника пополам, получаем направление аксонометрических осей.

При этом ось Х0 будет биссектрисой Za, противолежащего стороне RQ = e%, ось 70— биссектрисой Z|3, противолежащего стороне RP-e и, наконец, ось Z0 — биссектрисой Zy, противолежащего стороне PQ = e2z.

Размер отрезков RP = e|,.RQ = e|,PQ = e§, нужных для построения треугольника PQR, может быть получен алгебраически путем возведения в квадрат числа миллиметров, содержащихся в длинах масштабных единиц ех, еу и ez, и, кроме того, величины, пропорциональные е|,е|,е|, могут быть также определены графически по способу, показанному на рис. 37.

На рис. 37 от точки О по оси X вправо отложены масштабные единицы ех, еу и ez, а вверх по оси Y — натуральная масштабная единица е.

Соединив точку/с концами отрезков ех, еу и е2 и построив у точек а, Ъ и с углы 90°, на оси Y получим графически отрезки, пропорциональные е%, е| и е§. Чтобы убедиться в этом, опишем на отрезке fk как на диаметре полуокружность. Эта полуокружность, пройдя через точку с, дает возможность написать следующее соотношение:

Но е = 1, поэтому

т. е. получаем тождество, что и требовалось доказать.

Масштабные единицы ех, еу и ez пропорциональны показателям искажения рх, ру и pz и связаны с ними следующей зависимостью:

Следовательно, для получения направления аксонометрических осей можно строить треугольник P'Q'R' на квадратах показателей ис-

Рис. 37

В этом случае направления аксонометрических осей будут совпадать с биссектрисами углов AP'Q'R'.

  • [1] Julius Weisbach (1806—1841) — профессор прикладной математики Фрейбург-ской горной академии.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>