Полная версия

Главная arrow Техника arrow Аксонометрические проекции

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Теорема Гаусса[1]

Теорема. Чтобы выходящие из одной точки на плоскости три отрезка ех, еу и ez можно было принять за прямоугольные проекции трех 1

равных взаимно перпендикулярных отрезков в пространстве, необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма квадратов векторов, представленных этими отрезками, была равна нулю.

Вывод этой теоремы, опубликованной Гауссом без доказательства, был сделан в 1890-е гг. А. Шварцем.

По смыслу теоремы Гаусса в случае прямоугольного аксонометрического проецирования существует определенная зависимость размеров аксонометрических масштабных единиц ех, еу и ez от выбранного направления аксонометрических осей Х0, У0 и Z0.

Как известно, в косоугольной аксонометрии эта зависимость отсутствовала, и на основании теоремы Польке — Шварца можно выбирать произвольно не только направление осей Х0, Y0 и Z0, но и размер масштабных единиц ех, еу и ez для этих осей. Для доказательства теоремы Гаусса построим AQRP (рис. 38) на отрезках, длина которых пропорциональна величинам ё?, ё2 и ёи придадим им направление, отмеченное стрелками. Последовательное отложение векторов на рис. 38, как известно, представляет графическое их сложение.

Мы знаем, что если при векторном сложении ломаная линия, образованная векторами, замыкается, то это говорит о том, что сумма складываемых векторов равна нулю.

Следовательно, в нашем случае замкнутый треугольник PQR, построенный на векторах, длина которых пропорциональна ё2, ё^ и ё2, может быть выражен условно уравнением

Значение величин, пропорциональных е2, е2 и е2, можно определить графически по способу, представленному на рис. 37, или алгебраически.

На основании теоремы Вейсбаха аксонометрические оси Х0, Y0 и Z0 суть биссектрисы углов Р, Q и R APQR, стороны которого равны или пропорциональны квадратам аксонометрических масштабных единиц е2, е2 и е2. Поэтому, разделив пополам углы Р = a, Q = (3 и R = = у (см. рис. 38), получим направления аксонометрических осей Х0, У0 и Z0.

Рис. 38

После сделанных построений выбираем некоторую прямоугольную систему координатных осей М, N на плоскости с началом в точке С (рис. 39) и переносим в эту точку построенные на рис. 38 векторы ё2, ё2 и ё2, сохраняя их направление.

Обозначим конец вектора г} через а, конец вектора Щ — через Ь, конец вектора ё2 — через/и выразим каждый вектор комплексным числом типа п + mi, где под коэфициентами пит будем понимать координаты конечных точек а, Ъ и / векторов ё2, ё2 и ё2 в системе осей N и М.

В этом случае:

— вектору ё2 соответствует комплексное число па + mai;

  • — вектору соответствует комплексное число nb + mhi;
  • — вектору ё} соответствует комплексное число ry + rryi.

Рис. 39

Найдем теперь величину и направление векторов ёх, ёу и ё2. Для этого придется извлечь квадратные корни из комплексных чисел па + + mai, nb + mhi и rif + rriji. Для извлечения квадратного корня из комплексного числа необходимо извлечь корень из его модуля р и разделить пополам его амплитуду ср.

Модулем комплексного числа, как известно, называется величина

а амплитудой

(в нашем случае рх = е|, р2 = е2, р3 = е|). Поэтому, извлекая корни четвертой степени из модулей чисел па + mai, nb + mbi и + rn.fi, получаем величины, равные масштабным аксонометрическим единицам е е и е •

'-Х’ уу '-2'

  • — Pi - jna + та дает размер аксонометрической единицы ех;
  • — р2 = ^Rb +т? дает размер аксонометрической единицы еу;
  • — р3 = ijnj +mj дает размер аксонометрической единицы ez.

Направление векторов ёх, ёу и ё2 получим, разделив пополам амплитуды векторов ё}, ё^ и ё}, т. е. разделив пополам углы фа, фь и ф^-. Действительно, из ДfCq (см. рис. 39) имеем:

Но Rf =Cq = ejcosq>f и nif =qf = ef sirupf, поэтому

Полученное выражение есть тригонометрическая форма комплексного числа Rf + Rifi. Зададимся вопросом, каково же будет направление вектора, длина которого равна ez? Назовем искомый вектор (см. рис. 39) через СК и получим:

Формула для извлечения корня из комплексного числа может быть получена из формулы Муавра:

Здесь r — показатель степени. Для нашего случая п = 1/2:

Здесь к — цикличность угла фу.

Следовательно, для нашего случая

и окончательно для случая, когда к = 0, имеем:

Сравнивая выражение (42) с выражением (41), приходим к выводу, что величина вектора

Ф f

а его направление фиксируется амплитудой —, что и было установлено выше. ^

Масштабные единицы ех, еу и е2 на рис. 39 за счет двузначности квадратного корня можно откладывать в двух направлениях от начала координат С.

Гаусс показал, что можно выбрать такие три направления для векторов ех, е и е2 (из шести возможных), которые дадут на рис. 39 углы со°, оо[] и оо^, в точности равные углам Wj, св2 и со3 между аксонометрическими осями Х0, 70 и 20 (см. рис. 38).

Действительно, на основании теоремы Вейсбаха известно, что аксонометрические оси представляют собой биссектрисы углов треугольника QPR, построенного на отрезках, пропорциональных И}, Щ и ё22, поэтому, приняв обозначения по рис. 38, получим:

но у + а = 180° - (3, поэтому

но (3 + у = 180° - а, поэтому но а + (3 = 180° - у, поэтому

Далее, пользуясь обозначениями углов на рис. 39, можно написать, что амплитуда вектора ё2 есть Z(fy, поэтому ё2 имеет два значения:

-

На рис. 39 амплитуда для вектора ez взята равной Z^- + 180°.

Угол, составленный вектором ё2 и продолжением вектора ё2, на рис. 39 равен Za (см. рис. 38).

Поэтому можно написать, что амплитуда для вектора Щ будет равна амплитуде вектора ё2 плюс 180° и плюс Za, т. е. амплитуда вектора ё2 равна

При этом амплитуда вектора ёу может иметь также двойное значение:

На рис. 39 взято второе из возможных значений амплитуды векто- ф/ 180° а

pa ev, равное -J- +--ь — + 180°.

у 2 2 2

Определим теперь, например, Zco2, составленный на рис. 39 векторами ёу и ё2. Этот угол равен разности амплитуд векторов ёу и ё2.

Таким образом,

откуда

В результате, сравнивая выражение (44) с (43), можно заключить, что угол со2, составленный аксонометрическими осями У0 и Z0 на рис. 38, в точности равен углу со[], составленному векторами еу и ez на рис. 39, т. е. Zco2 = Zco^, и аналогичными рассуждениями может быть доказано, что Zcoj = Zco^ и Zco3 = Zco^, что и требовалось установить.

Анализируя сделанный вывод, приходим к заключению, что направление трех выходящих из одной точки на плоскости отрезков ех, еу и е2 только тогда можно принять за направление осей Х0, У0 и Z0 прямоугольной аксонометрической проекции, а сами отрезки ех, еуие2— за аксонометрические масштабные единицы для этих осей, когда векторная сумма квадратов трех векторов, представленных этими отрезками, будет равна нулю. При этом аксонометрические оси Х0, У0 и Z0 по направлению совпадут на основании теоремы Вейсбаха с направлением биссектрис углов треугольника, построенного на отрезках ё?, ё? и ё} (или на отрезках, им пропорциональных), представляющего собой графически векторную систему ё} + ё? + ё22 =0.

  • [1] Friedrich Gau(3 (1777—1855) — профессор Геттингенского университета.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>