Полная версия

Главная arrow Техника arrow Аксонометрические проекции

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Прямоугольная триметрическая проекция

Триметрической проекцией называется такая аксонометрическая проекция, для которой еху2. Для косоугольного проецирования была выведена теорема Польке — Шварца, на основании которой любые три отрезка, исходящие на плоскости из одной точки, могли быть приняты за параллельные проекции трех любых отрезков, случайно расположенных в пространстве. Для прямоугольных аксонометрических проекций к этой теореме вводятся ограничительные условия, согласно которым направления прямоугольных аксонометрических осей Х0, Y0 и Z0 и величины масштабных единиц ех, еу и ez находятся между собой в определенной зависимости, устанавливаемой теоремой Гаусса.

По смыслу теоремы Гаусса исходящие из одной точки на плоскости три отрезка ех, еу и ez можно принять за прямоугольные аксонометрические проекции трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков в пространстве только в том случае, если векторная сумма квадратов трех векторов, представленных этими отрезками, равна нулю.

Кроме того, выше было показано, что в случае прямоугольного аксонометрического проецирования получается остроугольный треугольник следов, и аксонометрические оси Х0, Y0 и Z0 составляют попарно тупые углы. Наконец, на основании теоремы Вейсбаха направления осей Х0, Yg и Z0 прямоугольной аксонометрической проекции должны совпадать с биссектрисами углов треугольника, построенного на трех отрезках, равных или пропорциональных по длине квадратам масштабных единиц, т. е на отрезках ё2, ё2 и ё2.

Перечисленные выше положения дают возможность построить оси триметрической прямоугольной проекции, если заданы ех, еу и ez, и, кроме того, решить обратную задачу, т. е. определить масштабные единицы ех, еу и е2 для заданного направления триметрических осей

^0 и Z0-

Рассмотрим первый случай. Допустим, что надо построить оси Х0, Y0 и Z0 некоторой прямоугольной аксонометрической проекции и определить масштабные единицы ех, еу и ez, соответствующие направлению этих осей. Для прямоугольной аксонометрии оси Х0, Y0 и Z0, как было сказано выше, должны попарно составлять тупые углы.

Поэтому, взяв точку О0 (рис. 40), проводим три луча, составляющие между собой тупые углы Wj, со2 и со3. Приняв направление этих трех лучей за направление аксонометрических осей Х0, Y0 и Z0, строим треугольник следов AqBqCq, для которого оси Х0, Y0 и Z0 будут высотами.

Сторону CqB0 проводим перпендикулярно к оси Z0 из любой точки т, взятой на продолжении оси Х0. Сторону Д0С0 проводим из точки С0 перпендикулярно к оси Y0, сторону AqB0 проводим из точки Л0 перпендикулярно к оси Z0.

Рис. 40

Далее, для определения масштабных единиц ех, еу и ez совмещаем грани А0ОВ0 и В0ОС0 пространственного тетраэдра, показанного на рис. 18, с плоскостью треугольника следов AqB0C0. Как это сделать, уже известно. Для этого на сторонах AqB0 и В0С0 AAqB0C0 (см. рис. 40) строим полуокружности и на этих полуокружностях намечаем точки Oj и Оп, отвечающие совмещенному положению начала координат О с плоскостью AAqBqCq. На рис. 40 пространственный тетраэдр и его вершина О не показаны, чтобы не осложнять изображения. Наметив точки Oj и Ои на продолжении осей Z0 и Х0, откладываем по линиям OjA0 и ОрВ0 от точки Oj какую-нибудь линейную масштабную единицу, равную, например, отрезку е, и переносим затем ее на оси Х0 и У0. В результате сделанного построения на осяхХ0 и У0 будут намечены искомые масштабные единицы ех и еу После этого, пользуясь точкой 0It, находим последнюю масштабную единицу ez для оси Z0. Таким образом, задача решена и найдены три масштабные единицы ех, еу и ez для выбранных случайно трех осей Х0, У0 и Z0, составляющих между собой на плоскости тупые углы col5 со2 и оз3.

Решим обратную задачу. Допустим, даны три масштабные единицы ех, еу и е2 некоторой прямоугольной триметрической проекции и требуется наметить для них направление осей Х0, У0 и Z0. Как известно, задаваясь величиной масштабных единиц ех, еу и ez, следует считаться с соотношением, выведенным выше (см. соотношение (33)).

Вейсбахом доказана теорема (см. параграф 1.10), на основании которой аксонометрические оси суть равноделящие углов треугольника, стороны которого равны или пропорциональны квадратам аксонометрических единиц. Поэтому для решения поставленной задачи возводим в квадрат величины заданных или выбранных масштабных единиц ех, еу и е2 и строим на них треугольник PQR (рис. 41).

Возведение в квадрат величин, пропорциональных отрезкам ех, еу и ez, можно сделать графически (см. рис. 37).

Деля пополам углы этого треугольника PQR, на основании теоремы Вейсбаха получаем оси Х0, У0 и Z0, соответствующие заданным (или выбранным) трем масштабным единицам ех, еу и ez. Пользование три- метрическими осями неудобно, так как приходится прибегать к трем различным масштабным единицам, поэтому триметрическая проекция редко применяется.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>