Полная версия

Главная arrow Техника arrow Аксонометрические проекции

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ЭЛЕМЕНТЫ АКСОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ

Элементы прямоугольной аксонометрической проекции

Изометрическая прямоугольная проекция куба (таблица 1)

В параграфах 1.1, 1.3 и 1.13 было дано теоретическое обоснование элементов прямоугольной изометрической проекции. Было показано, что эта проекция получается при параллельном проецировании заданного объекта на аксонометрическую плоскость проекции М0, расположенную перпендикулярно к направлению проецирующих лучей и одинаково наклоненную ко всем трем осям пространства X, Y и Z.

Прямоугольное изометрическое изображение, как известно, характеризуется тем, что углы, составленные осями Х0, Y0 и Z0 (попарно), равны каждый 120°, и размеры отрезков, расположенных параллельно этим осям, претерпевают уменьшение в 0,82 раза, т. е. показатели искажения

Покажем, что прямоугольная изометрическая проекция какого- нибудь тела, например куба (фиг. 1, табл. 1), может быть получена из его ортогональной проекции (проекция Монжа) (фиг. 2) посредством двух поворотов этого предмета перед фасадной плоскостью проекций V до такого положения, когда его диагональ СВ (фиг. 3 и 4), займет горизонтальное положение.

Докажем, что в этом случае на фасадной плоскости V получится изометрическое изображение AqNqRqEqLqPq куба (фиг. 4).

На фиг. 2 куб представлен в трех проекциях (см. «положение 1»). Для большей наглядности сделанных построений куб дан в виде игральной кости, грани которой отмечены точками. Вид спереди (фиг. 2) отмечен двумя точками, вид сверху — тремя и вид слева — пятью.

Обозначим левое ребро куба буквами А (а, а', а") и В (Ь, Ь', Ь") и после этого сделаем первый поворот куба вокруг вертикальной оси на угол 45°. Куб после этого поворота займет «положение 2» (фиг. 3). Ребро АВ после первого поворота выдвинется в сторону зрителя и окажется посередине фасадной проекции (см. проекцию а'Ь'). Отметим диагональ куба СВ на проекции вида слева (фиг. 3) штрихпунктирной чертой с"Ъ". Опустим из точки а" перпендикуляр а"к на диагональ с"Ь" и после этого сделаем второй поворот куба, наклоняя последний углом В в сторону зрителя до момента, при котором диагональ СВ займет горизонтальное положение (фиг. 4), показывающее «положение 3» куба.

Если теперь спроецировать куб ANCERB на фасадную плоскость V по направлению стрелки М, то получим изображение AqNqRqEqLqPq, удовлетворяющее всем условиям изометрической проекции. Углы между осями XQ, Y0 и Z0, совпадающими с горизонтальными и вертикальными ребрами куба, оказываются при этом равными каждый 120°, и все стороны куба претерпевают искажение, характеризуемое показателями

Очертание куба на фасадной плоскости V в этом случае (фиг. 4) представится в виде правильного шестиугольника.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим на фиг. 3 Ас"а"Ъ". Катет с"а" этого треугольника — диагональ нижней квадратной грани куба. Если размер ребер куба обозначить через а (а"Ъ" = а), а катет с"а" — через I (с"а" - Г), то по теореме Пифагора для нижнего квадратного основания куба можно написать:

откуда

Далее обозначим в Ас"а"Ь" острый угол при вершине Ъ" через а. Тогда из Дс"а"Ь" получим

откуда

Нетрудно видеть по фиг. 4, что для приведения диагонали с"Ъ" в горизонтальное положение СВ необходимо весь куб наклонить вперед на зрителя: ZBAA^ = ZCBA = Zc"b"a" = а = 55°. Проецируя теперь куб на фасадную плоскость по направлению стрелки М, можно убедиться, что все вертикальные ребра его уменьшатся по длине в 0,82 раза. Действительно, из аАВА^ (фиг. 4) получаем:

Но АВ - а, поэтому

откуда показатель искажения для параллельных ребер А0В0, P0L0 и NqRq получается равным pz = 0,82. Тогда

Докажем, что и два других показателя рх и ру также равны 0,82. Рассмотрим на фиг. 4 верхнюю грань куба. Грань эта представляет ромб, вертикальная диагональ которого BqE0 является проекцией заднего ребра куба СЕ. Но ребро СЕ АВ, поэтому можно написать, что диагональ

Горизонтальная диагональ RqL0, как было уже выяснено выше, равна

Обозначив точку пересечения диагоналей EqB0 и RqL0 через п, можно считать, что AEqBqLq — равнобедренный, так как точка п должна лежать на середине диагонали EqB0, потому что эта точка принадлежит диагонали RqL0 и является проекцией точки R, показанной на плоскости W посередине между точками Е и В (фиг. 4).

В AL0nB0 имеем:

и

По теореме Пифагора или

Сторона B0L0 параллельна направлению Л0Р0, принятому нами за направление осиХ0 (фиг. 4), и показатель рх по этому направлению оказался, как видим, также равным 0,82, т. е. рх = 0,82.

В результате и все остальные ребра, параллельные оси Х0, уменьшатся в размере в 0,82 раза, т. е.

Но мы установили, что ABqLqEq — равнобедренный, поэтому ребро

Отсюда заключаем, что и ру = 0,82, следовательно,

Таким образом, заключаем, что ABqLqEq не только равнобедренный, но и равносторонний, и что все ребра куба на проекции AqNqRqEqLqPqBq получают сокращение своего размера в 0,82 раза, а очертание куба на плоскости V за счет этого представляется в виде правильного шестиугольника, вокруг которого можно описать окружность из вершины куба В о (фиг. 4).

Ромб RqEqLqBq диагональю EqB0 делится на два равносторонних треугольника EqBqLq И EqBqRq.

Каждый угол равностороннего треугольника

На основании этого приходим к выводу, что

В результате таких же рассуждений придем к выводу, что и ZLqBqAq и ZRqBqAq также по величине равны 120°. Приняв направление ребер А0В0, P0L0 и RqN0 за направление оси Z0, ребер А0Р0, B0L0 и RqE0 — за направление оси У0 и ребер куба EqLq, RqB0 и NqA0 — за направление оси У0, убеждаемся, что изображению AqNqRqEqLqPq присущи все свойства прямоугольной изометрической проекции, что и требовалось установить. Значит, получившееся после второго поворота на фасадной плоскости V изображение AqNqRqEqLqPqBq (фиг. 4) представляет собой изометрическую проекцию куба.

При этом ребра куба на изометрическом изображении уменьшили свой размер в 0,82 раза против исходного.

Здесь следует оговориться, что обычно этим сокращением при вычерчивании изометрических видов предметов для упрощения пренебрегают, и тогда получаются изображения, в точности подобные

изометрическому, но более крупные — в г =-= 1,22 раза. Для куба

0,82

такое увеличенное изображение дано на фиг. 1, где попутно показан также и способ построения изометрических осей при помощи чертежного треугольника с углом 30° при вершине.

На фиг. 5 изометрические оси начерчены отдельно.

Перед тем как приступить к составлению изометрических видов предметов, ограниченных плоскими поверхностями, необходимо ознакомиться со способом построения изометрических проекций плоских многоугольников.

В частности, разберем способ построения изометрических проекций: а) квадрата, б) прямоугольника, в) шестиугольника, г) более сложных профилей, представляющих комбинации разного вида прямоугольников, треугольников и трапеций. На фиг. 1 табл. 2 дан в ортогональной проекции квадрат. Для его построения прежде всего были проведены две взаимно перпендикулярные оси X и Y. Затем на этих осях были намечены точки А, В, С, D посредством отложения вправо и влево, вниз и вверх от места пересечения осей размера L, равного половине стороны квадрата. Закончив эти подготовительные действия, провели через намеченные точки С и D стороны квадрата, параллельные оси X, а через точки А и В — стороны квадрата, параллельные оси Y.

Обведя толстыми линиями начерченный контур, получили (фиг. 1) квадрат, вычерченный на ортогональных осях X и Y.

Для построения этого же квадрата на изометрических осях порядок действий остается абсолютно тем же самым. Разница заключается только в том, что оси X и Y не будут уже взаимно перпендикулярными, а пересекаются пол углом 120°.

Последовательность действий, которые приходится проделать для построения изометрического вида квадрата, показана на фиг. 2—4.

На фиг. 2 проведены изометрические оси под углом 120° одна к другой. По этим осям отложен размер L и намечены точки А и В на оси X и точки С и D на оси У.

На фиг. 3 через точки С и D проведены стороны квадрата, параллельные оси X, а через точки А и В — две другие стороны, параллельные оси Y. После утолщения контурных линий квадрат, начерченный в изометрии, показан на фиг. 4.

На фиг. 5 в ортогональном виде изображен прямоугольник, имеющий большую сторону 21, а малую сторону 21.

На фиг. 8 дан изометрический вид этого же прямоугольника.

Фигуры 6 и 7 показывают последовательный ход построения.

На фиг. 9 дан ортогональный чертеж правильного шестиугольника. На фиг. 12 изображен изометрически этот шестиугольник, а на фиг. 10 и 11 дан способ построения изометрической проекции этого шестиугольника.

Вершины вычерчиваемого шестиугольника на фиг. 9 отмечены цифрами 1—6. При этом вершины 1 и 4, лежащие на осиХ, отмечены двумя кружками. Ось Y пересекает середины сторон 2—3 и 5—6 в точках О и D.

На фиг. 10 построение изометрического вида шестиугольника произведено следующим образом.

Прежде всего проведены изометрические оси, пересекающиеся под углом 120°. После этого по оси X вправо и влево на расстоянии L отмечены точки 1 и 4, а по оси Y отложен размер I, представляющий половину расстояния от точки С до точки D.

Через точки С и D проведены линии параллельно оси X. От точек С и D по этим линиям отложен размер п, равный по величине половине стороны шестиугольника. В результате этого наметились точки 2, 3, 5 и 6, представляющие собой вершины шестиугольника.

После этого остается только соединить точку 1 с точками 2 и 6, а точку 4 — с точками 5 и 3, чтобы получить изометрический вид шестиугольника (фиг. 11 и 12).

На фиг. 1 табл. 3 изображен контур продольного сечения анкерной плиты, вычерченный по способу ортогонального проецирования, а на фиг. 2 тот же контур дан в виде изометрического изображения. При этом на фиг. 2 дано два варианта расположения заданного контура.

По первому варианту контур расположен в плоскости Z — 7, по второму — в плоскости Z — X.

Построение изометрической проекции контура сводится к отложению по изометрическим осям размеров, снятых с ортогонального чертежа. Получающимся при этом сокращением по осям обычно пренебрегают и на изометрических осях откладывают действительные размеры элементов контура, снятые непосредственным обмером с ортогонального чертежа.

На фиг. 1 цифры на размерных линиях указывают последовательность, в какой должны быть отложены размеры при построении изометрического изображения на фиг. 2.

Таким образом, после проведения на фиг. 2 оси Z — Zb первую очередь откладывается размер 1 и наносятся вертикальные осевые линии, проходящие по центру двух отверстий (незаштрихованные места). После этого по нижней кромке контура от точки А вправо и влево проводят линии параллельно выбранной изометрической оси, например параллельно оси 7 — 7. Затем на оси Z откладывают размеры 2, 3 и 4 и через точки отложения проводят линии, параллельные оси 7—7

Сделав это построение, отмечают на нижней линии крайнюю точку, зафиксированную размером 5, на второй линии откладывают размеры 6 и 7, а на третьей и четвертой снова откладывают размеры 6 и 5.

Отложив после этого размер 8, вычерчивают наружный контур плиты, а отложив еще размеры 9, 10 и 11, наносят контур отверстий, имеющихся в плите; так как контур плиты симметричен относительно оси Z — Z, то размеры 1,5,6, 7, 9, 10 и 11 следует откладывать сразу и вправо и влево от оси симметрии, т. е. от оси Z — Z.

Вычерчивание изометрического изображения призмы

(таблица 4)

На фиг. 1—6 табл. 4 дано шесть вариантов расположения шестигранной призмы в пространстве. На фиг. 1 главная ось шестиугольника направлена вдоль изометрической оси X, а высота призмы отложена вдоль оси Z, т. е. основания призмы лежат в горизонтальных плоскостях.

На фиг. 2 главная ось шестиугольного основания совпадает с осью Y, а основания призмы, как и на фиг. 1, расположены в горизонтальных плоскостях. На фиг. 3 и 4 призма касается горизонтальной плоскости одним из ее ребер, а на фиг. 5 и 6 горизонтально расположены нижняя и верхняя грани призмы. Во всех случаях шестиугольник построен по координатам его вершин по способу, изложенному выше (фиг. 9—12, табл. 2).

На фиг. 7 дан ортогональный вид сечения заготовки под рельс. На фиг. 8—11 дан изометрический вид отрезка заготовки этого сечения при разном расположении его на изометрических осях.

Способ построения изометрической проекции этого сечения виден на фиг. 8.

Построение по фиг. 8 начато с проведения координатных осей Z и У. После этого по оси Z вертикально вверх намечают пять характерных точек (отмечено кружками). Эти точки соответствуют изломам контура рельсовой заготовки. Через каждую намеченную точку проведены линии параллельно оси У. На нижней линии размечена ширина подошвы рельса.

Через намеченные на подошве точки проводим вертикальные линии (параллельно оси Z). Далее намечаем контур шейки рельса.

Таким же способом строим головку рельса, для чего по самой верхней линии раскладываем размер ее ширины, намечаем две крайние верхние точки и через них проводим вниз вертикальные линии до излома контура головки.

Утолстив контурные линии, получаем изометрический вид рельса на координатных осях Z — У.

Таким же способом строим то же самое сечение на осях Z — X (фиг. 9) иХ — У (фиг. 10 и 11).

На фиг. 10 главная ось симметрии сечения расположена по оси Y, а на фиг. 11 эта ось совмещена с координатной осьюХ.

Таким образом, необходимо отчетливо запомнить правило, что в изометрии построение плоских фигур всегда производится нанесением всех характерных точек излома контура. При этом вся разметка характерных точек вычерчиваемого сечения производится вдоль заранее начерченных аксонометрических осей, почему таким проекциям и присвоено название аксонометрических, т. е. осемерных.

Чтобы закончить построение призматического отрезка рельсовой заготовки, необходимо из всех точек излома контура отложить вдоль третьей оси размер длины ребер призмы и соединить последовательно намеченные точки.

Сечение призмы плоскостью (фиг. 1—3)

На фиг. 1 табл. 5 ортогональный чертеж пятигранной призмы, поставленной на горизонтальную плоскость проекции и рассеченной вертикально проецирующей плоскостью Р, имеющей следы Pv и Ph.

На фиг. 2 и 3 дано изометрическое изображение этой призмы, причем на фиг. 2 ось симметрии основания АВ призмы направлена вдоль изометрической оси X, а на фиг. 3 эта же ось АВ направлена вдоль оси Y. Способ построения фиг. 2 и 3 совершенно тождествен, поэтому рассмотрим только способ построения фиг. 2.

Порядок действия таков. Наметив точку Ц, проводят через нее изометрические оси X и Y под углом 30° к горизонту. Затем измеряют циркулем по фиг. 1 расстояние от центра пятиугольника до точки 1 и этот размер откладывают на осиХ фиг. 2. В результате наметится точка А.

Таким же способом намечают точку В.

Из точки В проводят линию параллельно оси Y и, замерив по фиг. 1 расстояние до точек 3 и 4 от горизонтальной оси симметрии, откладывают это расстояние от точки В по направлению, параллельному оси Y. Для построения точек 2 и 5 необходимо предварительно на фиг. 2 наметить точку С, затем через точку С провести линию параллельно оси У и на этой линии отложить расстояние до точек 2 и 5 от горизонтальной осевой линии, замеренное циркулем по фиг. 1. Учтем, что здесь, как и во всех остальных случаях, изометрическим сокращением по осям для упрощения сделанных построений пренебрегаем. После того как изометрическая проекция пятиугольного основания призмы будет построена, замеряем по фиг. 1 высоту ребер призмы и на фиг. 2 заканчиваем изображение целой (не усеченной) призмы. Далее учитываем, что на фиг. 1 секущая плоскость Р отрезала от каждого ребра некоторую часть, и так как сокращением размеров по осям пренебрегаем, то, замерив на фиг. 1 по проекции главного вида размеры, фиксирующие высотное положение точек V, 2', 3', 4' и 5', откладываем эти размеры на фиг. 2 и в результате получаем форму пятиугольного среза I, II, III, IV и V. Точки К и N могут быть определены, если на оси X верхнего основания призмы отложить толщину оставшейся не усеченной части; замер этой толщины необходимо сделать на фиг. 1 также вдоль главной горизонтальной оси, проходящей через точку 1.

Сечение пирамиды плоскостью (фиг. 4—6)

На фиг. А—6 табл. 5 показан способ построения пирамиды, усеченной вертикально проецирующей плоскостью Р, имеющей следы Pv и РНа фиг. 4 дан ортогональный чертеж этой пирамиды (в трех проекциях). Изометрическое изображение пирамиды дано на фиг. 5 и 6. При этом на фиг. 5 главная ось симметрии основания пирамиды АВ направлена вдоль оси X, а на фиг. 6 — вдоль оси Y.

Рассмотрим способ построения для фиг. 5. Построение начинаем с проведения изометрических осей X и Y через точку Е. Затем на этих осях строим изометрическую проекцию пятиугольного основания пирамиды и, отложив по оси Z от точки Е размер высоты пирамиды, намечаем контуры целой (не усеченной) пирамиды. Все размеры для построения фиг. 5 берем путем непосредственного обмера циркулем по фиг. 4 (сокращением размеров по осям пренебрегаем).

Далее необходимо на фиг. 5 наметить точки IV, фиксирующие контур сечения. Непосредственным обмером по фиг. 4 эти точки наметить нельзя, так как направление ребер пирамиды не совпадает с направлением изометрических осей.

Для нанесения на фиг. 5 точек I—У следует предварительно на плоскости основания пирамиды нанести вторичную изометрическую проекцию контура сечения 1, 2, 3, 4 и 5 по фиг. 4. На фиг. 5 этот контур нанесен штрихпунктирной чертой.

Чтобы закончить построение контура I—У на фиг. 5, необходимо из каждой вершины штрихпунктирного пятиугольника провести вертикальные линии до пересечения с ребрами пирамиды.

Этим самым спроецируем контур сечения 1—5 с плоскости основании пирамиды (штрихпунктирный пятиугольник) в пространство.

Фиг. 6 строится таким же приемом, только главную ось симметрии основания пирамиды следует направить вдоль оси Y.

Сечение призмы и пирамиды плоскостью

Переход от ортогонального чертежа к аксонометрическому изображению (таблица 6)

На фиг. 2, 4, 6 и 8 табл. 6 дан способ построения деревянных врубок, форма и размеры которых заданы ортогональным чертежом (фиг. 1, 3, 5 и 7).

Способ построения этих врубок в достаточной мере прост. Необходимо только твердо запомнить основное правило аксонометрии, заключающееся в том, что вычерчивание какого-нибудь тела, имеющего сложные вырезы, всегда должно начинаться с изображения этого же тела, но поначалу начерченного без всяких вырезов.

Например, вычерчивая врубку по фиг. 1, следует на фиг. 2 расчертить прежде всего брусок, из которого эта врубка вырезана, и только уже после этого наметить кусок материала, который от него должен быть отрезан.

Другими словами, аксонометрия любой врубки легче всего может быть построена, если придерживаться последовательности действий, совершаемых плотником или столяром для ее осуществления.

Таким образом, построение врубки по фиг. 1 следует начинать следующим образом.

  • 1. Наметить точку Л.
  • 2. Построить торец бруска ABCD. При этом линию АВ надо провести вертикально, т. е. параллельно оси Z, а линию АС наклонно, т. е. в данном случае параллельно оси Y (фиг. 2). После этого по намеченным осям откладываем размеры торца бруска, т. е. по оси Z откладываем размер 20 мм, а по оси Yразмер 30 мм (фиг. 1, вид слева).
  • 3. Через все четыре вершины параллелограма ABCD проводим вправо, вверх наклонные линии параллельно оси X (фиг. 2) и по ним откладываем длину бруска, взятую с ортогонального чертежа (фиг. 1), т. е. размер 70 мм.

Закончив построение наружных форм целого бруска, расчерчиваем срез, для чего прежде всего намечаем от точки В его длину, т. е. точку К. По фиг. 1 можно видеть, что размер среза ВК должен быть равен 30 мм.

После этого проводим линию КМ, т.е. намечаем границу запила, и через точки К и М проводим вертикально вниз глубину срезки, т. е.

откладываем размер 10 мм (фиг. 1). Наконец, из вновь намеченных точек Р и R проводим влево вниз две линии параллельно оси X и размечаем контур отрезанного угла.

На фиг. 4 начерчена врубка, изображающая тип врубок, применяемых, например, для вязки оконных рам. На фиг. 3 в виде ортогонального чертежа заданы все размеры для этой врубки.

Длина бруска, как и в предыдущем случае, равна 70 мм, толщина бруска — 20 мм, ширина его — 30 мм, размер длины срезанной части — 30 мм, а толщина шипа — 7 мм.

Вычерчивание фиг. 4 производится следующим образом.

  • 1. Выбираем координатную ось для большего измерения бруска, т. е. для его длины. В данном случае брусок расположен вдоль оси Y.
  • 2. Чертим по известному нам правилу торец бруска, т.е. параллело- грам ABCD. Размеры ширины и высоты ромба берем из фиг. 3.
  • 3. Через каждую вершину параллелограма проводим линию параллельно оси Y (фиг. 4).
  • 4. Ограничиваем длину бруска, отложив по каждой из намеченных линий размер 70 мм.

Эти четыре операции являются подготовительными. После того как брусок вычерчен полностью, можно приступить к расчерчиванию самой врубки.

Для этого от точки В откладываем размер ВК длины вырубки 30 мм (фиг. 4). В результате отложения получаем точку К Проводим через точку К линию КМ. Из точек К и М откладываем глубину ПОД-

20-7 /: г

резок для шипа, равную —-— = 6,5.

В результате будет расчерчен шип. Совершив обводку, т. е. утолщение контурных линий, и штриховку, получим наглядную картину бруска с шипом.

На фиг. 6 и 8 тем же способом сделаны более сложные врубки. Для их построения опять-таки прежде всего на заранее выбранных осях начерчен целый, неразрезанный брусок, а потом с ним в последовательном порядке проделаны все операции, которые совершает плотник для получения данной врубки.

Переход от ортогонального чертежа к аксонометрическому изображению

Из сравнения аксонометрического вида врубок фиг. 2, 4, 6, 8 с ортогональным чертежом тех же врубок на фиг. 1, 3, 5 и 7 бросается в глаза несравненно большая наглядность аксонометрического изображения перед ортогональным, несмотря на некоторые искажения углов, свойственные аксонометрии.

Положение бруска в пространстве может быть выбрано по усмотрению лица, вычерчивающего аксонометрический вид, но всегда это направление целесообразно намечать параллельно аксонометрическим осями X, Y и Z.

В табл. 7, в центре, показан способ вычерчивания бруска в изометрии при самом разнообразном положении этого бруска в пространстве.

В центре листа проведены координатные изометрические оси и начерчено шесть исходных положений бруска без вырезок, а на фиг. 1—10 начерчен брусок, имеющий одинаковую врубку на обоих концах.

На фиг. 1 брусок начерчен расположенным параллельно оси 7 и в предположении рассматривания его зрителем снизу. На фиг. 2 также дан вид бруска снизу, но самый брусок расположен параллельно оси X. На фиг. 3 и 4 дано то же самое положение бруска, что и на фиг. 1 и 2, но брусок перевернут верхней гранью вниз, при этом фиг. 3 соответствует фиг. 1, а фиг. 4 — фиг. 2.

На фиг. 5 и 6 брусок расположен вертикально, т. е. параллельно оси Z. На фиг. 5 дан вид этого бруска при взгляде на него несколько сверху, а на фиг. 6 при взгляде снизу. Кроме того, фиг. 5 отличается от фиг. 6 еще и тем, что брусок на фиг. 5 повернут к зрителю другой стороной, не той, что на фиг. 6.

Фигуры 7—10 показывают изометрический вид бруска, положенного параллельно осям X или Y. Брусок начерчен в предположении взгляда на его верхнюю сторону. В остальном изображения по фиг. 7—10 сходны с изображениями по фиг. 1—4.

Необходимо и здесь еще раз подчеркнуть основное правило, заключающееся в том, что при изображении аксонометрических видов предварительно брусок должен быть начерчен целиком, без срезок, так, как это сделано на фиг. 1 (см. тонкие линии), и уже только после этого расчерчивают и делают самую врубку.

Как и в предыдущих случаях, брусок легче всего может быть начерчен, если его построение начать с нанесения контуров торца.

Различные способы расположения параллелепипеда

На фиг. 1—4 табл. 8 даны изометрические изображения четырех комбинированных тел. Для каждого тела сбоку дана схема, из которой виден порядок действий, выполняемых при построении изометрического изображения вычерчиваемого тела.

Для построения тела по фиг. 1 рекомендуется начертить сначала габаритный контур бруска, из которого можно вырезать данный предмет, наметив затем контуры вырезаемой части.

Строя изометрическое изображение фиг. 2, также сначала следует начертить габаритный параллелепипед, отвечающий размерам бруска, из которого можно потом выделить ту часть материала, которая будет отрезана при изготовлении оголовка.

При построении изометрического изображения комбинированного тела по фиг. 3 и 4 рекомендуется придерживаться схемы построения, несколько отличной от используемой для фиг. 1 и 2.

Здесь сначала строят нижнюю часть фигуры, а затем на ее верхнем основании причерчивают верхнюю часть. Вычерчивать нижнюю часть фиг. 3 и 4 начинают с проведения изометрических осей. Затем на этих осях для фиг. 3 строят изометрическое изображение прямоугольного основания детали, а для фиг. 4 — контур шестиугольного основания. Наметив контуры нижнего основания, откладывают от точки пересечения осей вверх по оси Z высоту нижней части предмета. В результате намечается точка, отвечающая центру верхнего основания пирамидальной части.

Далее через эту точку проводят изометрические оси и на этих осях чертят верхнее основание нижней части, а также контур нижнего основания верхней призматической части. Для фиг. 3 это будет контур треугольника, а для фиг. 4 — параллелограм.

Штриховка

Чтобы придать изображению большую наглядность, на вычерченное изображение при помощи штриховки наносят тени в предположении, что предмет освещен слева и сверху (в тени будут находиться правые грани предмета).

Падающую тень от верхней части предмета тоже полезно нанести, так как это придает еще большую выразительность изображению.

На освещенные передние грани штриховку следует наносить очень умеренно — только для того, чтобы подчеркнуть наклон той или иной плоскости. Возможно, конечно, точное построение контуров падающей и собственной теней предмета. Однако здесь следует оговориться, что ввиду сложности такого построения к точному нанесению контуров тени прибегают сравнительно редко и наносят тени лишь условно, на глаз. Если требуется на вычерченном изображении проставить размеры частей предмета, то это делают, придерживаясь тех же правил, что и при составлении ортогонального чертежа, только цифры располагают в той плоскости, размер которой они фиксируют.

Размеры, фиксирующие высоту предмета, ставят так, как это сделано на фиг. 2—4 (лучший способ простановки высотных размеров дан на фиг. 2).

В табл. 9 показаны тела более сложной формы, чем в табл. 8. Изображая изометрический вид предмета по фиг. 1 табл. 9, необходимо мысленно расчленить предмет на составные части, из которых его будет собирать модельщик.

Таких частей четыре: нижняя опорная плита, вертикальная стойка и два подкоса треугольной формы.

Каждую из составных частей чертим отдельно, наблюдая за тем, чтобы правильно присоединить одну часть к другой. Для этого на каждой начерченной части необходимо обязательно наносить изометрические оси. На этих осях строим контур нижнего прямоугольного основания вертикальной стойки (см. параллелограм АВ). Затем, отложив высоту, заканчиваем контур вертикальной доски.

Чтобы закончить изображение, необходимо к вертикальной доске правильно причертить подкосы, для чего вдоль оси X вычерчиваем прямоугольные основания С и D, по которым подкосы присоединены к опорной плите.

После этого намечаем оси Z0Z0 и на них строим контуры прямоугольников, по которым подкосы присоединяются к вертикальной стойке.

Построение чертежа по фиг. 2 начинают с проведения осей для нижней призматической части. Затем, отложив высоту пирамидальной части и нанеся новые оси, на этих осях вычерчивают малое основание усеченной пирамиды.

На тех же верхних осях расчерчивают контур нижней части основания угольника, являющегося третьей составной частью детали.

Построение изометрического изображения предмета по фиг. 3 ведут в такой же последовательности. Расчленяют предмет на составляющие его части. Таких частей можно наметить три: основная часть, т. е. средняя доска ABOPRS, к этой доске причерчивают спереди брусок EF и с противоположной стороны косо срезанный брусок CDMNK. Только после этого можно перейти к нанесению подробностей в виде разного рода срезов и пазов, имеющихся на детали.

Фиг. 4 также вычерчивается по частям: сначала нужно начертить нижнюю фундаментную доску, затем к этой доске причерчивается шестигранная призма. Нижнее основание этой призмы располагается на осяхХ и Y, размеченных на верхней поверхности опорной доски.

Наконец, на осях, нанесенных на верхнем основании шестигранной призмы, чертят нижнее основание третьей верхней четырехгранной призмы. В самую последнюю очередь наносится контур прорези, имеющейся в верхней части призмы.

Последовательность действий при составлении аксонометрического изображения комбинированного тела

(таблица 10)

На фиг. 6 табл. 10 дано изометрическое изображение комбинированного тела, напоминающего форму корпуса подшипника (упрощенную). На фиг. 1—5 показана последовательность действий, которых необходимо придерживаться при вычерчивании этого изображения.

Рассмотрим эти действия.

На фиг. 1 показана первая стадия работы: проведена вертикальная линия АВ переднего угла опорной плиты и намечен контур боковых граней опорной плиты.

На фиг. 2 закончено изображение опорной плиты, на ее поверхность нанесены изометрические оси и на этих осях намечен контур основания верхней части.

На фиг. 3 закончен наружный контур (габаритный) верхней части и причерчены грани двух призматических выступов, которыми эти выступы примыкают к опорной плите и верхней основной части корпуса подшипника. На фиг. 3 эти грани выделены утолщенной линией.

На фиг. 4 закончено вычерчивание боковых выступов и нанесен в общих чертах контур средней выемки, обозначенной утолщенной линией.

На фиг. 5 построение закончено нанесением мелких подробностей, отмеченных толстой чертой.

На фиг. 6 деталь показана в законченном виде. Для этого были удалены резинкой все линии построения, обведены линии видимого контура и нанесены штриховкой тени, придающие изображению большую наглядность.

Тени нанесены в предположении, что свет падает на предмет слева и сверху, поэтому густой штриховкой покрыты правые грани детали, находящиеся в тени.

Кроме того, полезно нанести (в умеренном количестве) падающие от верхней части тени, например на опорной плите.

Таким образом, и в данном примере перед вычерчиванием аксонометрического изображения детали последнюю мысленно расчленяют на несколько частей простейшей формы (опорная плита, средняя часть, боковые выступы), эти части наносят постепенно на чертеж в виде габаритных контуров и только после этого вычерчивают подробности и чертеж отделывают штриховкой.

Изображение окружностей в изометрической проекции

(таблица 11)

Выше изучался способ построения изометрических проекций плоских многоугольников и предметов, ограниченных плоскостями.

В табл. 11 показан способ построения в изометрии окружностей.

Рассмотрим способ построения изометрической проекции для окружности. Из начертательной геометрии известно, что проекцией окружности в общем случае является эллипс. На фиг. 1 вверху начерчена окружность, вписанная в квадрат. Диаметр этой окружности, а следовательно и размер каждой стороны квадрата, равен D.

Проведем оси симметрии квадрата Х0 и 70. Окружность касается квадрата в точках пересечения этих осей с его сторонами. Эти точки отмечены четырьмя маленькими кружочками. Концы вертикального и горизонтального диаметров окружности отметим двумя кружками. Для получения изометрического вида окружности, вписанной в квадрат, начнем вращать весь квадрат вокруг горизонтальной диагонали MN. При вращении горизонтальный диаметр окружности, отмеченный буквами Л и Б, останется на месте, не изменит своей величины, а вертикальный диаметр CqE0 начнет уменьшаться.

При наклоне квадрата на угол 55° к горизонту его осиХ0, Y0 превратятся, как мы знаем (см. описание табл. 1), в изометрические осиХ, Y и весь квадрат превратится в ромб, все стороны которого получат сокращение в 0,82 раза (фиг. 2).

В параграфе 1.13 показано, что при наклоне квадрата вертикальный диаметр окружности, вписанной в него, т. е. диаметр CgAg, уменьшится до величины СЕ, сократившись при этом в 0,58 раза.

К этому же выводу можно прийти путем следующих рассуждений.

Из геометрии известно, что окружность, вписанная в квадрат, делит его диагонали почти точно в пропорции 7 к 3. Это и отмечено на фиг. 1 табл. 11 (см. точки А и С0).

Последовательность действий при составлении аксонометрического изображения комбинированного тела

Выше (при описании табл. 1) было показано, что при наклоне куба по фиг. 4 табл. 1 малая диагональ ромба EqB0 представляет собой проекцию на плоскости V заднего ребра куба СЕ. За счет этого размер малой диагонали EqB0 на фиг. 4 табл. 1 будет равен величине ребер куба, умноженной на показатель искажения pz = 0,82. Из начертательной геометрии известно, что пропорциональность частей отрезка при параллельном проецировании на плоскость сохраняется. На основании этого заключаем, что размер вертикальной диагонали ромба на фиг. 2 табл. 11 равен 0,82D, где D — размер стороны квадрата (фиг. 1 табл. 11). Интересующий нас размер малой оси СЕ эллипса

будет составлять — от размера D, т. е.

что и требовалось доказать.

Таким образом, окружность в изометрии превращается в эллипс с большой осью D и малой осью 0,58D.

Из построения на фиг. 2 ясно, что для изображения эллипса имеется восемь характерных, легко определяемых точек Л, В, С, Е, М, N, Р иК

Расстояние от точки А до точки В равно фактическому диаметру вычерчиваемой окружности.

Расстояние от точки С до точки D равно 0,58 от истинного диаметра окружности.

Точки М и N лежат на оси X, и расстояние между ними равно 0,82 от истинного диаметра, наконец, точки Р и R лежат на оси Y на таком же расстоянии друг от друга, как и точки М и N.

Другими словами, размер PR равен 0,82 диаметра окружности, вписанной в квадрат.

При изучении фиг. 1 табл. 1 установлено, что все три видимые грани куба в изометрической проекции представляются ромбами совершенно одинакового размера. Поэтому способ получения изометрической проекции окружности во всех трех гранях куба будет тождественным с только что рассмотренным (при описании фиг. 2, табл. 11).

На фиг. 3 начерчен изометрический вид куба с окружностями, вписанными во все его три видимые грани. Из рассмотрения фиг. 3 видно, что эллипсы тождественны между собой, но расположены по-разному.

Необходимо обратить особое внимание на то обстоятельство, что большая ось эллипса в изометрии располагается вдоль большой диагонали соответствующего ромба, а малая осьвдоль малой диагонали того же ромба.

При изучении фиг. 2 установлено, что обе оси эллипсов всегда получаются взаимно перпендикулярными (на фиг. 2 ось АВ 1 оси СЕ).

Для построения фиг. 2 для вычислений принята неизменная величина стороны квадрата D. На практике эллипс удобнее чертить, исходя из величины стороны ромба, которую обозначим буквой а. В этом случае большая ось эллипса получается равной 1,22а, а малая ось — 0,7а (фиг. 3).

Нахождение длины большой и малой осей эллипса можно сделать, кроме того, еще другим способом, как это отмечено на фиг. 1—3. Для этого следует запомнить, что большая и малая оси эллипса, вписанного в ромб, всегда делят его диагонали на две неравные части, находящиеся между собой в пропорциональном отношении, почти точно равном 7:3.

Следовательно, при построении эллипса прежде всего нужно: 1) провести изометрические оси, 2) начертить ромб и 3) наметить все характерные точки эллипса. Четыре из восьми точек лежат на изометрических осях, остальные четыре находятся на диагоналях, деля эти диагонали в пропорции 7 : 3.

Как правило, при аксонометрическом скицировании эллипсы вычерчивают от руки, вписывая их в заранее расчерченный ромб. При этом внутри ромба предварительно намечают все характерные точки эллипса.

Однако в ученических работах, а также и при работе тушью можно использовать способ вычерчивания эллипса при помощи чертежного циркуля. В этом случае, конечно, можно получить только приближенный вид эллипса, так как кривизна линий эллипса совершенно своеобразна, поэтому никакими частями дуг окружности описана быть не может.

На фиг. 3 табл. 11, вверху, показан графический прием, пользуясь которым, можно определять главные оси эллипса, вписываемого в ромб или в параллелограм.

Для этого в точках К и L к стороне ромба проводят линии под утлом 45°. Через точку S пересечения этих линий описывают полуокружность радиусом LS и затем из точек j, j проводят линии параллельно сторонам ромба. Эти две линии на диагоналях ромба намечают точки С и М, являющиеся концевыми точками главных осей эллипса, вписанного в ромб (или в параллелограм). Линия jM, будучи параллельной изометрической осиХ, пройдет через точку С, делящую полудиагональ ОК в пропорции 7 : 3 в том случае, если точка; разделит линию KL также в пропорции 7:3.

Убедимся в этом. Из прямоугольного треугольника KSL можно написать:

Но

поэтому

или

Следовательно, точка j действительно делит отрезок KL в пропорции 7 : 3, поэтому линия jM разделит полудиагональ ОК также в пропорции 7 : 3, что и требовалось установить.

Из табл. 11 очевидно, что окружность, вписанная в одну из граней куба, может находиться в трех взаимно перпендикулярных плоскостях — в горизонтальной плоскости XY, в вертикальной XZ и в вертикальной YZ. Однако, так как все три видимые грани куба в изометрической проекции изображаются тремя в точности равными один другому ромбами, то и окружности, вписанные в грани куба, в изометрии будут проецироваться в виде трех абсолютно одинаковых эллипсов, имеющих большие оси равными диаметру окружности, вписанной в грань куба, а малые оси равными 0,58 от больших осей.

Главная ось эллипса, вписанного в верхний ромб, как очевидно из табл. 11, располагается горизонтально, а главные оси эллипсов, вписанных в боковые грани куба (см. табл. 11), направлены по диагоналям граней куба и, следовательно, составляют с горизонтом угол 60° (табл. 12, фиг. 1, 4 и 5).

При вычерчивании окружности диаметром D в изометрической проекции без учета получающихся сокращений размеров по осям в 0,82 раза необходимо размер большой оси эллипса увеличивать до

Д) = — «1,22В, а малую ось принимать равной 0,82

Получить размеры осей эллипса D0 = 1,22D и d0 = 0,7D можно графически. Для этого (фиг. 2 табл. 12) проводят две взаимно перпендикулярные оси, чертят вокруг центра О окружность диаметром D и из точек Е и F делают засечки, пересекающиеся в точках Л и В. Соединив затем точку А с точкой В и точку Е с точкой F, получают размеры главных осей эллипса:

Действительно, из прямоугольного треугольника EOF можно написать:

Из прямоугольного треугольника FKB можно написать:

Но FB = EF = 0,7D; КВ = 0,5АВ; KF = 0,5EF.

Следовательно

т. е. АВ = D0~ 1,22D.

Определив таким графическим приемом главные оси эллипсов, можно приступить к вычерчиванию их.

При этом вычерчивание эллипсов по точкам можно производить от руки или пользуясь лекалом, однако оба способа встречают на практике обычно большие затруднения, так как, во-первых, для них требуется предварительно вычислить большое количество точек, принадлежащих эллипсу (не менее восьми), во-вторых, требуется достаточная твердость руки, верность глаза и умение работать по лекалу.

Поэтому в ряде руководств по графике авторы предложили несколько способов, используя которые, можно с достаточной степенью точности заменить эллипс четырехцентровым овалом и этот овал вычерчивать при помощи кругового циркуля. Автором настоящего пособия разработан способ, приведенный в табл. 12. Применяя этот способ, можно циркулем построить овал, близко тождественный к форме эллипса, изображающего изометрическую проекцию окружности.

Рассмотрим этот способ.

Допустим, требуется начертить овал, отвечающий диаметру окружности D0 по фиг. 3 табл. 12. Проводим горизонтальную и вертикальную оси и на этих осях циркулем чертим окружность, имеющую диаметр D0. В местах пересечения этой окружности с вертикальной осью наметим две точки, названные на фиг. 1 центр 1 и центр 2.

Откладываем по вертикальной линии размеры малой оси эллипса а0 и этим определяем точки т и т'.

Из центров 1 и 2 описываем через точки тит' циркулем две дуги. Затем циркулем, поставленным в центр большой окружности, прочерчиваем полуокружность через точку т' и этим намечаем две новые точки — центр 3 и центр 4.

Заканчиваем овал, описав циркулем две дуги — одну из точки 3, другую — из точки 4.

Радиус г вычислять не приходится, так как он уже определен положением точек центр 3 и центр 4.

Чтобы начертить овал по фиг. 4 и 5, следует сделать те же самые построения, которые мы проделали, вычерчивая овал по фиг. 3, только при этом главную ось овала необходимо провести под углом 60° к горизонту, а малую ось — под прямым углом к ней, т. е. под углом 30° к горизонту. Построение обеих осей легко сделать, имея под рукой чертежный треугольник с углами 30 и 60°.

Изучая изометрическую проекцию, уместно запомнить несколько соотношений, свойственных этой проекции, в частности полезно запомнить, что для изометрии

При вычерчивании изометрических изображений получающимся сокращением размеров по осямХ, Y и Z в 0,82 раза обычно пренебрегают и вследствие этого получают изображение предмета, увеличенное в

Поэтому необходимо учесть, что, так как диаметр окружности (большая ось эллипса) в изометрии равен натуральной величине окружности, вписанной в грань куба, то, пренебрегая сокращением размеров по осям X, Y и Z, необходимо диаметр окружности (большую ось эллипса) увеличить в 1,22 раза. На фиг. 1—4 размер D0 = 1,22D, где D — фактический диаметр окружности, вписанной в квадрат.

Графический способ определения главных осей эллипса

Из аналогичных соображений, вычерчивая, например, круглый фланец диаметром -0факт по фиг. 1 (табл. 12а), следует большую ось АВ эллипса на фиг. 2 (табл. 12а) взять равной АВ = 1,22?факт, а малую ось эллипса EF принять равной EF = 0,58АВ.

Вместо этих вычислений рекомендуется пользоваться рассмотренным выше графическим способом определения размера осей эллипсов, большой АВ и малой EF. Для этой цели следует начертить циркулем окружность по ее фактическому диаметру D^aKT (фиг. 1, табл. 12а). Затем, соединив точку Е с точкой F, нужно сделать две засечки радиусом EF: одну — из точки Е, вторую — из точки F. В результате получим (фиг. 1) точки А и В, соединив которые, будем иметь отрезок АВ = 1,22?факт. Размер АВ, как уже установлено выше, соответствует длине большой оси эллипса на фиг. 2 табл. 12а. Расстояние же от точки Е до точки F определяет собой размер малой оси эллипса, так как это расстояние — сторона квадрата, вписанного в окружность, следовательно, EF ~ 0,7?факт, что и соответствует EF = 0,58АВ, ибо АВ =

= 1,220факт.

Действительно,

Этим же графическим приемом на фиг. 1 табл. 12а определены оси 12,34,5 — 6 и 7 — 8 для двух других эллипсов, начерченных на фиг. 2 табл. 12а.

На фиг. 3 табл. 12а таким же способом определен размер осей MN, PQ и ef, ih двух эллипсов для очертаний продолговатого фланца, начерченного в изометрической проекции на фиг. 4 табл. 12а.

Варианты расположения цилиндра по осямХ, Y и Z (таблица 13)

На фиг. 1 и 2 табл. 13 даны изометрические проекции концентрических окружностей, вписанных в квадраты. При вычерчивании изометрических видов концентрических окружностей учащиеся часто допускают ошибку и размер ab принимают равным размеру cd, т. е. внутренний эллипс проводят параллельно контуру наружного эллипса. Следует помнить (это уже указывалось при рассмотрении фиг. 2 табл. 11), что при изометрическом превращении диаметр окружности по большой оси эллипса сохраняет фактический размер, а по направлению малой оси эллипса уменьшается в 0,58 раза. Поэтому и толщина стенки ab пустотелого цилиндра на фиг. 1 и 2 должна сохранить фактический размер, а та же самая толщина стенки пустотелого цилиндра, обмеренная по направлению малой оси эллипса, уменьшится в 0,58 раза против исходной, т. е.

На фиг. 3 табл. 13 дано шесть изометрических видов цилиндра, расположенного вдоль осейХ, Y и Z. Цилиндр в пространстве может занимать, вообще говоря, бесчисленное множество различных положений, однако если главную ось цилиндра расположить вдоль изометрических осей X, Y и Z, то количество изображений уменьшится до шести. Все шесть вариантов изображения цилиндра, главная ось которого направлена вдоль изометрических осей X, Y и Z, даны на фиг. 3 табл. 13.

Чтобы придать большую наглядность сделанным изображениям, на цилиндры штриховкой наносят тени, причем, помимо того что у затемненных мест штриховка сгущается, у этих же мест постепенно увеличивается и толщина линий штриховки. Торцы левых трех цилиндров заштрихованы гуще, чем торцы правых, так как предполагается направление света слева и сверху.

Варианты расположения цилиндра

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>