Особенности решения задач оптимального управления при наличии ограничений на управление. Игольчатая вариация и вариация траектории

Особенности решения задач оптимального управления при наличии ограничений на управление

Рассмотрим, почему при наличии ограничения на управление

нельзя использовать методы классического вариационного исчисления. Осложнения, вызванные наличием ограничения (3.1), связаны с тем, что допустимые вариации управления должны удовлетворять условию и + Ьи^и, т. е. вариации управления теперь не произвольны, а должны удовлетворять заданным ограничениям.

Необходимым условием экстремума функционала 7(х, и) является равенство нулю его первой вариации 37(х, й, Зх, Зп) = 0 для любых допустимых вариаций 8х, Зп. Это условие аналогично условию обращения в нуль линейной части приращения функции х(Г), т. е.

которое мы имеем в теории экстремума функции одной переменной. Предположим теперь, что минимум функции х(1) разыскивается на отрезке [11? С2] (рис. 3.1). Если минимум достигается в граничной точке или С2> то в этом случае имеет место необходимое условие, требующее лишь неотрицательности линейной части приращения функции

Рис. 3.1

Так же обстоит дело и в том случае, когда мы имеем функционал 7(х,п), а область допустимых значений управления и замкнута. Если х,й реализуют минимум 7(х,и), то необходимо, чтобы вариация функционала была неотрицательна для любых вариаций 8х, 8п: 8 7(х,й,8х,8и)>0.

В некоторых случаях задачу выбора оптимального управления при наличии ограничений на управление можно свести к задачам классического вариационного исчисления. Например, если управление и — скалярная величина, удовлетворяющая неравенству | и | < 1, то можно либо произвести замену и = $та, либо дополнить число управлений новой переменной Р, определяемой условием Валентайна: Р2+(п + 1)(п-1) = 0. При этом на ос в первом случае и на 3 во втором не накладываются ограничения типа неравенств. Можно вводить новые переменные и других видов. Л. С. Понтрягин предложил иной путь решения поставленной задачи, позволивший получить более сильные и общие результаты, справедливые для любых замкнутых областей управления, в частности для тех, которые нельзя «раскрыть» с помощью искусственных приемов рассмотренного типа.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >