Полная версия

Главная arrow Инвестирование arrow Инвестиции

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Определение доходности и риска отдельной акции портфеля

Принимая во внимание введенные У. Шарпом допущения, можно получить выражения для трех необходимых характеристик , и любых акций в портфеле. Действительно, вернемся к основному уравнению (3.15) регрессионной модели

и вычислим ожидаемую (среднюю арифметическую) величину доходности i-й акции портфеля. Для этого надо учитывать свойства оператора Е, используемого для вычисления ожидаемых величин:

Тогда получим:

(3.17)

поскольку ; и

Как известно, дисперсия случайной величинывычисляется по формуле

Подставив сюда выражения для из формулы (3.13) и из формулы (3.17), получим

Наконец, последним начальным элементом, необходимым для построения границы эффективных портфелей, служат ковариации между доходностями ценных бумаг в портфеле. Напомним, что в общем случае ковариацию вычисляют по формуле

Подставив в эту формулу выражение ri,j из формулы (3.13) и проведя необходимые вычисления, получим:

поскольку остальные члены в данном равенстве согласно начальным условиям 4) и 5) равны нулю.

Подведем итог: если инвестор формирует портфель из п ценных бумаг, то использование параметров линейной регрессии и позволяет выразить с их помощью все три характеристики каждой акции портфеля – ожидаемую доход-

ность , дисперсии и ковариации доходностей этих ценных бумаг:

(3.18)

(3.19)

(3.20)

необходимые для построения границы эффективных портфелей. При этом инвестору требуется предварительно вычислить п значений , п величин , п значений , а также и . Следовательно, всего потребуется найти (n + n + п + + 2) = (3п + 2) начальных данных, что существенно меньше объема вычислений для модели Марковица. Например, при формировании портфеля из 30 ценных бумаг для определения границы эффективных портфелей надо 3 • 30 + 2 = 92 начальных данных по модели Шарпа и 495 (в 5 раз больше!) по модели Марковица.

Сокращение объема вычислений в модели Шарпа происходит потому, что все парные ковариации между доходностями ценных бумаг в портфеле предполагаются равными нулю. А чтобы отразить взаимное влияние риска одной ценной бумаги на риск другой ценной бумаги, Шарп предложил свести эти ковариационные эффекты к взаимосвязи ценных бумаг портфеля с каким-то рыночным индексом, например S&P500. Иначе говоря, корреляция между доходностями ценных бумаг в портфеле выражается с помощью рыночного индекса. Оценка результатов регрессии. Вычисленные параметры и регрессионной модели дают представление об общих тенденциях взаимосвязей между изменениями доходности рыночного портфеля и доходностью оцениваемой акции. Однако величиныине позволяют давать однозначный ответ о степени подобной взаимосвязи. Как уже отмечалось, на точность регрессионной модели оказывает значительное влияние ошибка . Значит, точность регрессионной модели, степень взаимосвязи и определяются разбросом случайных ошибок , который можно оценить с помощью дисперсии случайной ошибки . Кроме того, точность регрессии можно определить, оценивая, сколь точно регрессионная модель определяет дисперсию доходности ценных бумаг, для которых составляется регрессионная модель.

Как было показано выше, дисперсию i-й ценной бумаги можно представить в виде двух слагаемых – см. формулу (3.19):

Первое слагаемое свидетельствует, что часть риска i-й ценной бумаги определяется нестабильностью самого рынка, поскольку туда входит – дисперсия рыночной доходности rт. Второе же слагаемое показывает, что в суммарном риске ценной бумаги присутствует и собственная доля, не зависящая от колебаний рынка.

Разделим обе части равенства (3.19) на величину :

Обратим внимание, что в этом случае первое слагаемое будет показывать, какую долю в суммарном риске ценной бумаги (дисперсии ее доходности ) можно описать с помощью регрессионного уравнения

а второе слагаемое – степень неточности регрессионной модели.

Значит, чем ближе величина к единице, тем более точна регрессионная модель.

Однако несложно показать, что

Следует иметь в виду, что квадрат коэффициента корреляции является общепризнанной мерой оценки точности линейной регрессии, т.е. мерой того, насколько точно уравнение регрессии подходит для описания соотношений реальных данных ri,t и rm,t. Вычислим величину для акций А, В и С, вспомнив ранее вычисленные значения ;

Эти данные свидетельствуют, что лучше всего линейная регрессия описывает поведение акций компании А, так как величина ближе к единице, чем для других компаний. Для компании С использование выбранного индекса РЦБ при составлении линейной регрессионной модели не оправданно, так как только 6% (0,0598) изменений ее доходности можно связать с колебаниями рынка.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>