Полная версия

Главная arrow Инвестирование arrow Инвестиции

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Определение ожидаемой доходности и дисперсии портфеля

Как установлено, ожидаемая доходность портфеля, состоящего из п ценных бумаг, вычисляется по формуле

где Wi – вес ценной бумаги в портфеле.

Подставим в эту формулу выражение из формулы (3.17):

Выделим в этом равенстве слагаемые, на которые не оказывают воздействие изменения рынка и которые зависят от рыночных показателей:

(3.21)

Для придания этой формуле компактности Шарп предложил считать рыночный индекс как характеристику условной (п + 1)-й акции в портфеле. В таком случае второе слагаемое уравнения (3.21) можно представить в виде

где (3.22)

(3.23)

При этом считается, что дисперсия ошибки (п + 1)-й акции портфеля равна дисперсии рыночной доходности:

Выражение (3.22) представляет собой сумму взвешенных величин "беты" () каждой ценной бумаги (где весом служат ) и называется портфельной бетой (). С учетом выражений (3.22) и (3.23) формулу (3.21) можно записать так:

(3.24)

Итак, ожидаемую доходность портфеляможно представить состоящей из двух частей:

  • а) суммы взвешенных параметров а; каждой пенной бумаги – (), что отражает вклад в самих ценных бумаг;
  • б) компоненты , т.е. произведения портфельной беты и ожидаемой рыночной доходности, что отражает взаимосвязь рынка с ценными бумагами портфеля.

Дисперсия портфеля. Как известно, дисперсию портфеля можно представить в виде

Если вместо значений и подставить в это равенство выражения (3.19) и (3.20):

провести соответствующие вычисления и воспользоваться условностью (3.22), то можно показать, что дисперсия портфеля представляется в виде

(3.25)

При этом необходимо иметь в виду, что т.е.

Значит, дисперсию портфеля, содержащего п акций, можно представить состоящей из двух компонент:

а) средневзвешенных дисперсий ошибок , где весами служат , что отражает долю риска портфеля, связанного с риском самих ценных бумаг (собственный риск);

б) – взвешенной величины дисперсии доходности рыночного портфеля , где весом служит квадрат портфельной беты, что отражает долю риска портфеля, определяемого нестабильностью самого рынка (рыночный риск).

Исходя из изложенного, можно аналогично тому, как это делалось выше, показать, что с увеличением числа ценных бумаг в портфеле первая часть риска портфеля будет стремиться к нулю. Поэтому диверсификация портфеля приводит к уменьшению риска, связанного с нестабильностью самих ценных бумаг, оставляя лишь компоненту, зависящую от нестабильности самого рынка.

Формулирование цели инвестора в модели Шарпа

Напомним, что в модели Марковица цель инвестора формулировалась следующим образом.

Необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля

при заданных начальных условиях

В модели Шарпа цель инвестора сводится к следующему. Необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля

(3.26)

при следующих начальных условиях:

(3.27)

(3.28)

(3.29)

В обеих моделяхинвестор стремится минимизировать дисперсию портфеля при заданной доходности портфеля Е* (первое условие), имея в виду, что сумма долей начальных инвестиций, направляемых им на приобретение ценных бумаг в портфеле, равняется единице (второе условие). Однако модели имеют и существенное различие:

  • • во-первых, по-разному представлены формулы для вычисления и ;
  • • во-вторых, имеется дополнительное четвертое ограничение, которое вводит портфельную бету как вес рыночного показателя.

Построение границы эффективных портфелей

Отметим основные этапы, которые необходимо выполнить для построения границы эффективных портфелей в модели Шарпа.

  • 1. Выбрать п ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности каждой ценной бумаги.
  • 2. По рыночному индексу (например, индексу ММВБ) вычислить рыночные доходности для того же промежутка времени.
  • 3. Определить величину дисперсии рыночного портфеля , а также значения ковариаций доходностей каждой ценной бумаги с рыночной доходностью и найти величины:

4. Найти ожидаемые доходности каждой ценной бумаги и доходности рыночного портфеля и вычислить параметр:

  • 5. Вычислить дисперсии ошибок регрессионной модели.
  • 6. Подставить эти значения в уравнения (3.26)-(3.29).

После такой подстановки выяснится, что неизвестными величинами являются веса акций портфеля. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля Е*, можно решить систему уравнений (3.26)-(3.29) с использованием множителей Лагранжа.

Рассмотрим пример построения границы эффективных портфелей, состоящих из акций А, В и С. Задача инвестора в этом случае сводится к следующему: необходимо минимизировать выражение

при следующих начальных условиях:

Подставим вычисленные ранее значения и в эти выражения:

Решение этой задачи с использованием множителей Лагранжа дает следующие результаты:

Таким образом, поставленная задача была решена: для любого выбранного уровня ожидаемой доходности портфеля Е* инвестор может найти веса каждой ценной бумаги и сформировать портфель, имеющий минимальный риск. Значит, инвестор в состоянии построить границу эффективных портфелей, а затем, наложив на нее карту кривых безразличия, определить оптимальный портфель.

Для нахождения весов ценных бумаг Wi необходимо предварительно составить полином Лагранжа:

где – множители Лагранжа. Затем берутся семь частных производных полинома L по каждой из семи неизвестных , а также и приравниваются к нулю:

В матричной форме эти семь уравнений записываются в следующем виде:

Представим это в виде матричного уравнения:

Для нахождения веса необходимо вычислить на компьютере матрицу , обратную матрице Т, и решить уравнение , т.е. каждую строку обратной матрицы умножить на столбец Е. Веса для MVP портфеля вычисляются путем нахождения обратной матрицы , где – матрица без пятой строки и пятого столбца, соответствующих ограничению Е*.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>