Полная версия

Главная arrow Информатика arrow Информатика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

9.5. Модели и технологии численного решения задач

9.5.1. Моделирование и исследование функций

Существуют различные способы задания функций: аналитически, в виде графика и таблично. При экспериментальных измерениях, в банковской деятельности, бухгалтерской отчетности и т.д. часто используется табличный способ задания функций. В табличном представлении одна из переменных всегда является независимой, а остальные переменные являются значениями функций в точках независимой переменной.

Использование формулы для описания зависимости между аргументами и значениями функции называется аналитическим способом задания функции, например у = х2.

Построение графической модели функции. Графический способ представления функций позволяет наглядно оценить характер изучаемого явления, выявить динамику изменений и тенденции развития и т.д.

Пример 9.6. Рассмотрим графическую модель функции, построив соответствующий график для аналитически заданной функции у = 3x3 + 2x2 – х + 1 на отрезке [-2; 2].

Решение

Создадим заголовки для диапазонов: аргументов и значений функции в точках аргумента.

Построим область значений аргумента от -2 до 2 с шагом 0,4.

Создадим диапазон значения функции у для каждой из этих точек.

Выделим области аргументов и их значений вместе с заголовками и на ленте инструментов выберем вкладку Вставка.

Выберем в группе Диаграммы тип График и построим соответствующий график (рис. 9.22).

Вычисление предела функции. Для нахождения предела функции, например в точке х = 2, требуется выполнить следующую последовательность действий:

  • • в столбце, в разных строках, ввести достаточно близкие значения к точке 2, слева и справа;
  • • вычислить значения функции в этих точках (рис. 9.23);
  • • найти разность полученных значений функции. Полученные значения функции для окрестностей точки 2

равны, что подтверждается их разностью, которая равна 0,00. Это означает, что предел функции в точке 2 существует и равен -1,00.

Графическая модель функции у = 3х3 + х2 – х + 1

Рис. 9.22. Графическая модель функции у = 3х3 + х2х + 1

Нахождение предела функции

Рис. 9.23. Нахождение предела функции

Вычисление корней функции одной переменной. Корнем функции у = f(x) называется точка, в которой функция принимает значение нуль. Воспользуемся технологией нахождения корней функции на отрезке с помощью электронной таблицы.

Пример 9.7. Задана функция у = х2 – х+ 0,1, требуется найти корни уравнения на отрезке [-2; 2].

Решение

Функция представлена полиномом второй степени и имеет не более двух корней. Построив область аргументов и значений функции в т очках аргументов, можно определить диапазоны аргументов, в которых функция меняет знак, т.е. пересекает ось абсцисс. Из полученной области очевидно, что функция два раза пересекает ось абсцисс, значит, все корни уравнения содержатся на искомом отрезке. Скопируем в отдельную область значения (нары, аргумент и значение функции) – (0; 0,1) и (0,8; -0,06). Предварительно настроив параметры относительной погрешности вычислений (0,00001), вызовем инструмент "Подбор параметра". Поочередно для каждой пары выполним следующие действия:

  • • в поле Установить в ячейке укажем адрес ячейки, где находится значение аргумента;
  • • в поле Значение впишем число 0;
  • • в поле Изменяя значение ячейки укажем ссылку на ячейку, в которой находится значение функции (рис. 9.24).

Решением является х = 0,11, при котором у = 0.

Применение инструмента

Рис. 9.24. Применение инструмента "Подбор параметра" для нахождения корней уравнения

Вычисление производной функции. Для вычисления производной в заданной точке численными приближенными методами могут быть использованы формулы конечных разностей. Соответствующее выражение нахождения производной имеет вид

Использование достаточно малых значениях приращений х дает приемлемую точность при вычислении производной. Данным принципом воспользуемся для вычисления производной в электронной таблице.

Пример 9.8. Пусть дана функция у = 2х2 + х, требуется найти производную в точке х = 2 (аналитическое решение дает результат 9).

Решение

Построим область приближений в точке х = 2.

Вычислим значение функции в этих точках.

Применим формулу вычисления производной, как показано на рис. 9.25.

Вычисление производной

Рис. 9.25. Вычисление производной

Нахождение локальных экстремумов. Если задана непрерывная на отрезке [а; b] функция F(x), которая имеет на этом отрезке локальный экстремум, то его можно найти, применив инструмент "Поиск решения". Решим пример нахождения экстремума функции.

Пример 9.9. Найти экстремум функции F(x) = 2х2 + 3х1 на отрезке [-2; 2].

Решение

Выполним следующие действия.

  • • Введем в ячейку любое число, принадлежащее данному отрезку.
  • • Вычислим значение заданной функции в этой точке.
  • • Вызовем инструмент "Поиск решения", в поле Оптимизировать целевую функцию укажем адрес ячейки с формулой и установим переключатель на минимальное значение.
  • • В поле Изменяя ячейки переменных укажем ссылку на аргумент функции.
  • • В поле В соответствии с ограничениями добавим ограничения аргумента: больше или равно -2 и меньше или равно 2 (рис. 9.26).

Решением является значение у = -2,125 при х = -0,75.

Поиск экстремума с помощью инструмента

Рис. 9.26. Поиск экстремума с помощью инструмента "Поиск решения"

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>