Основные уравнения моментной теории тонких оболочек

Вырежем из оболочки постоянной толщины h нормальными сечениями криволинейный четырехугольный элемент (рис. 7.16), стороны которого ограничены координатными линиями и, v и и + du, v + dv, располагающимися на срединной поверхности оболочки. Срединная поверхность находится на равном расстоянии от внешней и внутренней поверхностей оболочки. На стороны вырезанного фрагмента оболочки действуют внутренние усилия и моменты: , – нормальные усилия, – касательные усилия,,– поперечные силы;,– изгибающие моменты,– крутящие моменты. Размерность усилий – Н/м, т.е. ньютон на метр длины соответствующей координатной линии; размерность изгибающих и крутящих моментов – Н • м/м, т.е. Н • м на метр длины соответствующей координатной линии.

Принимая во внимание размерность усилий и моментов, для составления уравнений равновесия значения усилий и моментов, показанные на рис. 7.16, необходимо умножить на соответствующие длины сторон, где приложены эти усилия и моменты.

Будем считать, что криволинейная координатная сеть и, v ортогональная (F= 0) и сопряженная (М = 0), т.е. координатные линии представляют собой линии главных кривизн.

Криволинейный четырехугольный элемент CCiDlD, вырезанный из срединной поверхности оболочки

Рис. 7.1 в. Криволинейный четырехугольный элемент CCiDlD, вырезанный из срединной поверхности оболочки

Обозначим через X, Y, Z интенсивность внешней распределенной поверхностной нагрузки (Н/м2 поверхности).

Составим уравнения равновесия относительно подвижных ортогональных осей координат(см. рис. 7.16): , и получим соответственно

(7.1)

Последнее шестое уравнение равновесия считается тождеством, так как принято

Обозначим перемещения произвольной точки срединной поверхности оболочки в направлении касательных к координатным линиям и, v и в направлении нормали к поверхности через соответственно.

Обозначим через относительные деформации в направлении координатных линий и, v, а через – сдвиг, т.е. изменение угла между координатными линиями.

Введем дополнительно три параметра, характеризующие изгибную деформацию срединной поверхности оболочки:

где – параметры изменения кривизн координатных линий и, v соответственно; – кручение элемента оболочки.

Параметры со штрихами – это параметры для деформированной оболочки.

Геометрические уравнения теории оболочек связывают между собой перемещения и деформации срединной поверхности оболочки. При выводе геометрических уравнений считают, что нормальный к срединной поверхности прямолинейный элемент оболочки остается прямолинейным и перпендикулярным к деформированной поверхности и после деформации. Для системы координат в линиях кривизн они будут иметь вид

(7.2)

где

В последних двух выражениях имеем, что – угол, на который поворачивается вектор в сторону вектора η в плоскости (); – угол, на который поворачивается вектор в сторону вектора n в плоскости ().

Физические уравнения (закон Гука в теории оболочек) имеют вид

(7.3)

Таким образом, при расчете оболочек толщиной h, заданных в линиях кривизны, вводятся следующие двумерные, зависящие от двух переменных и, v, величины:

– внутренние силовые факторы;

– компоненты тангенциальной и изгибной деформаций;

– компоненты смещения.

Всего вводится 17 величин, для которых получены следующие расчетные уравнения моментной теории оболочек:

  • • пять уравнений равновесия (7.1) бесконечно малого элемента оболочки, которые связывают между собой внутренние силовые факторы;
  • • шесть соотношений (7.2) между деформациями и перемещениями;
  • • шесть формул (7.3), связывающих между собой внутренние силовые факторы и деформации срединной поверхности оболочки.

Итого имеем 17 расчетных уравнений для определения 17 двумерных параметров.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >