Язык логики предикатов

  • 1. Исходные символы языка:
    • а) х, у, z, ..., а также с числовыми индексами (x1, x2, ..., xn) – предметные переменные.
    • б) a, b, с, ..., а также a1, a2, ..., ап – предметные константы (аналоги собственных имен естественного языка);
    • в) Р1, Q1, R1, ... (возможны эти символы с нижними индексами – P1, Р2, Р3, ...) – предикатные символы, или предикаторы (знаки свойств или отношений различных местностей);
    • г) f1, f2, f3, ..., f1, f2, ..., fn – предметно-функциональные символы;
    • д) логические константы (союзы):
      • – • ,∩, & – конъюнкция (союз "и"),
      • – U – дизъюнкция (союз "или", "либо"),
      • – U – строгая дизъюнкция (союз "либо"),
      • → – импликация (союз "если..., то..."); материальная импликация (),
      • – ↔, – эквиваленция (союз "если и только если..., то..."),
      • – ┐ – отрицание ("неверно, что...", "не"),
      • – кванторы: общности – "; существования – $;
    • е) (,) – технические знаки (скобки, запятые и пр.);
    • ж) ничто, кроме перечисленного в пунктах а–е, не является символом языка логики предикатов.
  • 2. Термы. Выражения этого типа являются аналогами имен естественного языка:
    • а) любая предметная константа и предметная переменная есть терм;
    • б) если fn – п – местный предметно-функциональный символ и t1, t2, ..., tn термы, то fn (t1, t2, ..., tn) есть терм;
    • в) ничто, кроме указанного в пунктах а и б, не является термом.
  • 3. Формулы. В число этих выражений входят аналоги повествовательных предложений естественного языка, а также высказывательные формы – предикаты, представляющие собой особую семантическую категорию, которая не выделяется явным образом в естественном языке:
    • а) если Рпп – местный предикат и t1, t2,..., tn термы, то Pn(t1, t2, ..., tn) есть формула;
    • б) если А и В – формулы, то (А&В), (A U В), (AÉВ), ┐ А – формулы;
    • в) если А – формула и х – предметная переменная, то x А(х) и xА(х) – формулы;
    • г) ничто, кроме указанного в пунктах а–в, не является формулой.

Рассмотрим на примерах, каким образом осуществляется перевод высказываний естественного языка на язык логики предикатов.

1. Простые высказывания, в которых утверждается наличие свойств у отдельного предмета, записывается в виде формулы: П1(t), где t – терм, соответствующий имени предиката, а П1 – одноместная, предикаторная константа, соответствующая знаку свойства.

Например, высказывание: "Москва – столица Российской Федерации" в языке логики предикатов примет вид формулы Р(а), где а – предметная константа, обозначающая имя "Москва", а Р – предикатный символ, обозначающий "быть столицей Российской Федерации".

Высказывание "Мать Назарова – экономист" может быть записан как Р(f(а)), если одноместному функтору "мать" сопоставить одноместную предметно-функциональную константу f, а свойство "быть экономистом" обозначить Р.

2. Высказывания, в которых присутствует отрицание свойства у отдельного предмета, на языке логики предикатов записывается посредством формулы

┐П1(t).

Например, "Париж не является столицей России":

Р(f(а)).

3. Высказывания, в которых утверждается наличие отношения между двумя предметами, записывается так:

П2(t1, t2).

Например, "Москва больше Санкт-Петербурга" имеет вид

R(a,b),

где R – предикатор "больше"; а – Москва; b – Санкт-Петербург.

Соответственно, если аналогичное высказывание содержит отрицание, то оно принимает вид

R(a,b).

Если высказывание содержит трехместные предикатные константы, например, любит Москву больше, чем Санкт-Петербург":

R1 (a, b, с).

где R1 – "любит больше чем", а"N", b – "Москва", с – "Санкт– Петербург".

4. Высказывание, содержащее кванторы, переводится на язык логики предикатов следующим образом.

На первом месте в формуле записывается кванторное слово, затем – предметная переменная, к которой относится квантор, и только после этого записывается предикаторная константа. Например, "Некоторые студенты являются экономистами". Этому высказыванию соответствует формула

$xQ(x),

где Q(x) – экономист.

Или "Некоторые студенты не являются экономистами", так как данное высказывание содержит отрицание, то формула будет выглядеть следующим образом:

$x┐Q(x).

Если высказывание содержит двух-, трехместный и т.д. предикатор, то формула строится с учетом местности предикатора.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >