Принятие решений в условиях определенности

Наличие условий определенности означает, что управленческая задача (задача принятия решений) содержит только детерминированные и переменные параметры.

Рассмотрим следующий пример. Магазин должен заказать поставщику два разных взаимозаменяемых товара – № 1 и №2. По оценке, спрос на товар № 1 не превышает 80 тыс. руб., на товар № 2 – 90 тыс. руб. Поставщик имеет возможность, в соответствии с мощностью предприятия, изготовить оба товара на сумму 150 тыс. руб. Рентабельность продажи товара № 1 в торговом предприятии составляет 2% от оборота, товара №2 – 4% от оборота. Нужно определить сумму, на которую магазин должен заказать товары каждого вида, для того чтобы доход от их продажи был максимальным.

Введем следующие обозначения:

  • а) стоимость заказываемых товаров № 1 и № 2 – и соответственно;
  • б) рентабельность товаров № 1 и № 2 – = 0,02 и =0,04 соответственно.

Задачу максимизации прибыли магазина в математической форме можно представить следующим образом:

(2.1)

при условии

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

В этой задаче линейного программирования функция называется целевой. Ее первая цель – заказ товара для удовлетворения спроса. Однако наряду с ней ставится и вторая цель – обеспечение качества достижения первой цели, для чего требуется максимизировать во второй операции возможную прибыль. Но поскольку добиться ее невозможно без достижения первой цели, то она и будет рассматриваться как единственная в этой задаче. Условия (2.2)–(2.5) являются ограничениями задачи, математическая формулировка которой точно соответствует ее содержанию, выраженному в словесной форме. Целевая функция и ограничения линейны относительно переменных и параметров, поэтому задача и относится к классу задач линейного программирования.

При наличии двух переменных ( и ) решим задачу не общим методом, а на основе ее геометрического представления. Выберем систему координат на плоскости и проведем в этой системе линии, которые отражали бы требования ограничений. Для этого в нестрогих неравенствах, выражающих ограничения, выберем знак равенства, после чего получим ; ; 59 ; .

Проведем на чертеже соответствующие линии (рис. 2.3). Каждая из них разбивает плоскость чертежа на две полуплоскости. В одной плоскости требования соответствующего ограничения выполняются, в другой – не выполняются. Например, выше линии АВ ограничение не соблюдается, а ниже – соблюдается. Все совместно взятые ограничения соблюдаются внутри заштрихованного пятиугольника OABCD, который вычерчивается линиями ограничений на плоскости.

Решение задачи на основе ее геометрического представления при наличии двух переменных

Рис. 2.3. Решение задачи на основе ее геометрического представления при наличии двух переменных

Содержательная интерпретация этого геометрического образа заключается в следующем: любая точка с координатами х1 и х2, находящаяся внутри или на сторонах упомянутого пятиугольника, представляет собой допустимое решение задачи, так как удовлетворяет всем ограничениям. Всякий заказ, выданный на х1 и х2 для товаров № 1 и № 2 соответственно, где значения координат берутся для указанного множества точек, будет допустим с точки зрения соблюдения ограничений задачи. Подставив конкретные значения координат выбранной допустимой точки в выражение целевой функции, получим значение дохода (прибыли), который вправе ожидать после принятого решения о заказе. Допустим, выбрана точка Е с координатами и . Для этой точки значение целевой функции будет тыс. руб. Для точек g (40, 50) и Н (60, 80) значения целевых функций составят 2,8 тыс. и 4,4 тыс. руб. соответственно.

Значения целевой функции располагаются следующим образом:

Следует отметить, что расстояния точек от начала координат находятся в таком же соотношении:

Нужно найти не любое допустимое решение, а максимальное значение целевой функции и соответствующее решение.

Представим на чертеже целевую функцию. В соответствии с постановкой задачи она будет иметь следующий общий вид:

F(х1, х2) = 0,02х1 + 0,04х2 = а,

где а – величина, которую хотят максимизировать.

Получилось уравнение семейства прямых линий с параметром а. Угловой коэффициент этой прямой равен 0,5. На чертеже нанесено несколько прямых PP этого семейства.

Из вида целевой функции устанавливается, что она:

  • а) положительна;
  • б) возрастает вместе с увеличением х1 и х2;
  • в) вклад от роста х1 и х2 не одинаков, рост х1 на 100 руб. приносит 2 руб. прибыли, рост х2 на ту же сумму – 4 руб.

На плоскости нужно найти такую точку (совокупность величин х1 и х2), которая удовлетворяла бы одновременно и ограничениям, и критерию максимизации целевой функции. Значение целевой функции возрастает при удалении от начала координат и убывает по мере приближения к нему. Чтобы получить желаемый результат, необходимо, видимо, найти такую точку, которая отстояла бы как можно дальше от начала координат, а также принадлежала бы многоугольнику ограничений и целевой функции. Для этого нужно перемещать линию целевой функции параллельно самой себе до тех пор, пока она не соприкоснется с многоугольником ограничений. Такое касание может произойти либо в одной точке многоугольника, либо в двух точках, и тогда линия целевой функции сольется с параллельной ей стороной многоугольника.

В нашем примере перенос линии целевой функции привел к соприкосновению линии PP с вершиной В многоугольника ограничений. Координаты точки В определяются решением системы уравнений х2 = 90 и х1 + х2 = 150. Результат: х1 = 60, х2 = 90. В точке с такими координатами целевая функция имеет значение

F(х1, х2) = F(60, 90) = 0,02 • 60 + 0,04 • 90 = 4,8.

Оно является для функции максимальным. Значения переменных, обеспечивающие максимальное значение целевой функции (60, 90), и есть те суммы, на которые необходимо заказать товары № 1 и №2. При наличии более двух переменных задачу уже нельзя представить геометрическим образом на плоскости. В этих случаях используются более эффективные и методы решения.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >