Кинематический анализ механизмов аналитическими методами

Основные понятия и определения

Функцией положения какого-либо звена механизма называется зависимость координаты, определяющей положение этого звена, от обобщенной координаты механизма. У механизма шарнирного четырехзвенника (рис. 1.13) с одной обобщенной координатой q = φ1 функции положения шатуна ВС и коромысла CD имеют вид зависимостей угловых координат этих звеньев φ2 и φ3 от координаты φ1:

Для механизма с п степенями свободы функция положения k-го звена является функцией соответствующего числа обобщенных координат

(1.12)

где – обобщенные координаты механизма.

Зависимость (1.12) описывает функцию положения звена, совершающего вращательное движение. Если звено движется поступательно, то его функция положения представляется в виде зависимости линейной координаты любой его точки Sk. от обобщенных координат механизма:

(1.13)

Функцию положения не всегда удается получить в виде явной зависимости (1.12) или (1.13). В общем случае она описывается уравнениями

(1.14)

Аналогом скорости точки какого-либо звена механизма называется первая производная радиуса-вектора этой точки по обобщенной координате. Допустим,– радиус- вектор k-й точки звена механизма с одной степенью свободы. Учитывая, что обобщенная координата q является некоторой функцией времени, найдем скорость k-й точки звена

Здесь – аналог линейной скорости k-й точки звена; – обобщенная скорость механизма.

Аналогом угловой скорости какого-либо звена механизма называется первая производная угловой координаты этого звена по обобщенной координате. Если положение г-го звена механизма с одной степенью свободы определяется угловой координатой , то угловую скорость его можно определить следующим образом:

где – аналог угловой скорости i-го звена механизма.

Рис. 1.13

Аналогом ускорения точки какого-либо звена механизма называется вторая производная радиуса-вектора этой тонки по обобщенной координате механизма. В рассмотренном выше примере для механизма с одной степенью свободы ускорение k-и точки звена определяется выражением

Здесь– аналог ускорения k-й точки звена; q – обобщенное ускорение механизма.

Аналогом углового ускорения какого-либо звена механизма называется вторая производная угловой координаты этого звена по обобщенной координате. Угловое ускорение i-го звена механизма находим следующим образом:

Здесь – аналог углового ускорения г-го звена.

Аналогискоростей и ускорений применяют при исследовании динамики механизмов. Предварительное нахождение их облегчает определение законов движения звеньев механизма.

Примеры решения задач аналитическими методами

Как отмечалось выше, аналитические методы кинематического анализа механизмов отличаются большим разнообразием и используют математический аппарат аналитической геометрии, тензорно-матричных, векторных и других операций. Широкое распространение получили векторные аналитические методы кинематического анализа. Они эффективны, универсальны и позволяют решать задачи кинематики механизмов с достаточно сложной структурой. К числу таких методов относится погруппный векторный метод кинематического анализа плоских механизмов, излагаемый ниже на примере решения задач кинематики механизмов 2-го класса.

Погруппный метод, предложенный в работе [15], опирается на структурную классификацию механизмов по Ассуру– Артоболевскому и предназначен для решения задач кинематического анализа плоских механизмов различной структуры. Алгоритм метода построен таким образом, что задачи кинематического анализа решаются сначала в общем виде, без учета конкретной схемы механизма. С этой целью применяют расчетные формулы для различных видов групп Ассура.

Затем выполняют несложную привязку полученных общих решений к заданному механизму. Для унификации расчетных формул рекомендуется вводить следующие обозначения кинематических пар структурной группы и звеньев (рис. 1.14): В и D – внешние (концевые) пары; С – внутренняя (средняя) пара; i – номер звена ВС; k – номер звена CD; – номера звеньев механизма, к которым присоединяется группа.

Положение звеньев структурной группы зависит от положения внешних вращательных пар и осей внешних поступательных пар, а также от принятой сборки группы.

Задача о положениях для структурной группы 2-го класса первого вида. Положения внешних концевых кинематических пар В и D группы определяются радиусами-векторами и (см. рис. 1.14). Связав со стойкой произвольную систему координат хОу, можно найти координаты концевых пар . Взаимное расположение концевых пар группы определяется вектором (см. рис. 1.14) с проекциями

Нахождение углового положения звеньев группы связано с определением единичных векторов и осей звеньев i и k, направленных в сторону средней пары С. Задача о положениях звеньев группы считается решенной, если определены проекции векторов и на оси Ох, Оу, по значениям которых находятся углы и , образуемые соответствующими звеньями с осью Ох. Например, если в результате решения задачи определеныи, то угол, об

разованный звеном i с осью Ох, будет равен

где

Задача о положениях имеет два решения, соответствующие двум возможным сборкам группы BCD и BCD, симметрич-

Рис. 1.14

ным относительно вектора(см. рис. 1.14). Чтобы их различать между собой, вводится дополнительный вектор ", ортогональный вектору и построенный путем поворота последнего на угол 90° против хода часовой стрелки. У сборки BCD проекция вектора на направление вектора n положительна, а у сборки BCD – отрицательна. Поэтому различать возможные сборки группы можно с помощью критерия, связанного со знаком параметра

(1.15)

Параметр принимает значения +1 для сборки BCD и -1 для сборки BCD. Изменение сборки группы возможно лишь при переходе через особое положение, в котором точки В, С и D располагаются на одной прямой, т.е. когда

Для вывода расчетных формул задачи о положениях запишем условие замкнутости векторного контура , определяющего относительное положение концевых пар группы:

С помощью векторов и это условие можно представить в виде следующей системы:

(1.16)

где – длины звеньев i и k.

В системе (1.16) первое уравнение равносильно двум скалярным уравнениям, записанным в проекциях на оси Ох и Оу. В связи с этим вся система эквивалентна четырем скалярным уравнениям и позволяет определить проекции двух неизвестных векторов и

Для определения векторапроведем следующие преобразования системы (1.16). Перепишем первое уравнение системы в виде и возведем обе его части в скалярный квадрат. В результате получим

Разрешив это равенство относительно произведения , будем иметь

(1.17)

где

Из развернутой записи уравнений системы (1.17)

(1.18)

очевидно, что первое уравнение линейно относительно проекции вектора , а второе является уравнением второй степени относительно этих проекций.

Система (1.18) имеет два решения, отвечающие двум возможным сборкам группы. Искомое решение определяет знак параметра . Из первого уравнения системы находим

(1.19)

Подставив выражение (1.19) во второе уравнение системы (1.18), получим квадратное уравнение в котором . Решая это уравнение, получим

или

(1.20)

где ε – коэффициент, значениями которого могут быть +1 или -1;

Найдем связь между коэффициентом ε и параметром , который введен выражением (1.15). Если вектор образует с осью Ох угол , то угол между вектором и этой осью равен . Имея в виду, что , для проекций вектора п получим

(1.21)

Приняв во внимание, что параметр определяет знак скалярного произведения , с учетом выражений

(1.21) находим

Представим это выражение с помощью формул (1.19) и

(1.20) в виде

(1.22)

Отсюда

Учитывая полученный результат в формулах (1.19) и (1.20), запишем окончательные расчетные зависимости, определяющие положение звена k:

(1.23)

В особых положениях группы, когда и, следовательно, .

Для вывода расчетных зависимостей, определяющих положение звена i, решим систему (1.16) относительно :

и запишем проекции этого равенства на оси Ох и Оу:

(1.24)

Задача о скоростях для структурной группы 2-го класса первого вида. В задаче о скоростях определению подлежат производные единичных векторов и . Известными считаются длины звеньев и вектор

Для вывода выражений, определяющих векторы и , продифференцируем по времени уравнения системы (1.16):

(1.25)

Обе части первого уравнения (1.25) умножим скалярно на вектор . В результате это векторное уравнение преобразуется в скалярное, в котором второе слагаемое будет равно нулю, и вместо системы (1.25) будем иметь систему

(1.26)

Эта система линейная относительно вектора . Развернув и решив систему (1.26), получим

(1.27)

где

Несложный анализ показывает, что в особых положениях группы, когда звенья располагаются на одной прямой (т.е. когда е) = или ё = -¾) задача о скоростях становится неопределенной. Для этих положений в уравнениях (1.27) с = 0 и определитель обращается в нуль.

После определения проекций вектора <4 из первого уравнения системы (1.25) находим вектор

(1.28)

Задача об ускорениях для структурной группы 2-го класса первого вида. В задаче об ускорениях определению подлежат вторые производные единичных векторов ё,” и е)". Известными считаются длины звеньев /,•, 4 и вектор р" = = г£ – го.

Дифференцируя по времени равенства (1.25), получим следующую систему уравнений:

(1.29)

Обе части первого уравнения (1.29) умножим скалярно на вектор ё и вместо произведения ё{ё" подставим правую часть третьего уравнения системы. Добавив к полученному таким образом равенству второе уравнение (1.29), будем иметь

Развернув левые части этих линейных относительно вектора е£ уравнений и решив систему, приходим к расчетным формулам задачи об ускорениях:

(1.30)

где

Расчетные формулы для вектора е" записываются из первого уравнения системы (1.29):

(1.31)

Задача о положениях для структурной группы 2-го класса второго вида. На схеме группы второго вида выбираются направление орта й оси поступательной пары D и точка D°, от которой измеряется величина s = D[)D, определяющая положение ползуна (рис. 1.15). В задаче о положениях требуется найти орт е) оси звена i и координату s.

Известными считаются орта, размеры и вектор с проекциями

Вектор ортогонален к оси поступательной пары D и образует с ортом этой оси й угол а = +90° (см. рис. 1.15). Знак угла а зависит от выбора направления вектора й, что можно выразить равенством

(1.32)

где μ = ±1.

У группы возможны две сборки: BCD и BCD', симметричные относительно отрезка BE, который перпендикулярен оси DD'. При этом в одной из сборок орт ё, образует с ортом й (осью поступательной пары) острый угол, а в другой – тупой. Следовательно, возможные сборки группы можно различать по знаку скалярного произведения ё;й, т.е. с помощью параметра

(1.33)

Изменение сборки группы связано с переходом через особое положение, в котором ё-,ύ = 0.

Для вывода расчетных формул решения задачи о положениях используем следующее условие замкнутости векторного контура:

или

Вводя обозначение, получим систему уравнений

(1.34)

Здесь векторявляется неизвестной величиной.

Выразим его через проекции вектора й, для чего решим вспомогательную задачу. Определим проекции вектора h на оси 0.г, Оу через проекции их и иу вектора й. Известным счита- тается угол а между векторами h и й. Обозначив через φ

Рис. 1.15

угол, который образует ортс осью Ох, запишем выражения для проекций на оси Ох, Оу вектора к.

(1.35)

Так как – единичный вектор оси D°D, то его проекциями будут . Развернув формулы (1.35), получим

(1.36)

Согласно равенству (1.32)Поэтому окончательно будем иметь

Теперь можно определить проекции вектора>:

(1.37)

Возвращаясь к системе (1.34), представим ее в скалярной форме:

Эта система имеет два решения относительно искомых величини s. Представим первое из уравнений системы (1.34) в виде

(1.38)

Возведем обе части этого равенства в квадрат и учтем, что. В результате получим квадратное уравнение

, откуда

или (1.39)

Здесь Коэффициент может принимать значения +1 или -1.

Установим связь между коэффициентом и параметром , т.е. определим, какое из двух решений следует выбрать в зависимости от принятой сборки группы. Умножив обе частиуравнения (1.38) скалярно на вектор, получим . После подстановки в это равенство выражения (1.39) будем иметь

(1.40)

Скалярное произведение(как и всякая алгебраическая величина) может быть представлено в виде

Подставив это выражение в правую часть равенства (1.40) , получим, откуда следует, что. Тогда из выражения (1.39) получим расчетную формулу для координаты s, определяющей положение ползуна:

(1.41)

Существуют положения группы, когда подкоренное выражение в формуле (1.41) обращается в нуль.

Расчетная формула для вектора, определяющего угловое положение звена ВС, получается непосредственно из первого уравнения системы (1.34):

(1.42)

Решение задач о скоростях и ускорениях для структурных групп 2-го класса второго и последующих видов проводится по той же методике, что и для групп первого вида, и в дальнейшем изложении будет опущено.

Задача о положениях для структурной группы 2-го класса третьего вида. В этой группе ортоси звена k направлен в сторону поступательной нары С (рис. 1.16). Вращательная пара В в зависимости от сборки может располагаться по одну (рис. 1.16, а) или другую сторону от оси CD (рис. 1.16, б).

Угол а между вектором и ортом выражается равенством (1.32).

В задаче о положениях известны размер h = СВ, коэффициент и вектор с проекциями

(1.43)

Требуется определить изменяемый размерs = DC и вектор. Из замкнутого векторного контура получаем систему

(1.44)

Рис. 1.16

Возводя в квадрат обе части первого равенства системы (1.44), получим

(1.45)

где

Отсюда имеем расчетную формулу

(1.46)

Определим проекции вектора, выражая их через его модуль h и проекции орта. Воспользуемся решением вспомогательной задачи, рассмотренной выше при выводе расчетных формул задачи о положениях для структурных групп 2-го класса второго вида. Подставив в равенствах (1.36)исоответственно вместои.получим

(1.47)

Для записи расчетных формул проекций орта k-го звена спроецируем первое уравнение системы (1.44) на оси Од; Оу (см. рис. 1.16, а) и подставим вместо проекций вектора И их выражения из формул (1.47):

(1.48)

Решая (1.48), находим

Задача о положениях для структурной группы 2-го класса четвертого вида. На кинематической схеме группы точками В и D обозначены крайние поступательные пары группы, точкой С – средняя вращательная пара (рис. 1.17). Направления осей поступательных пар обозначены ортами и. Точкиивыбраны в качестве начала отсчета координат и . Углы между векторами и и соответственно равны где

Требуется определить координатыиμ Известными являются размеры, ортыи векторс проекциями

(1.49)

Рис. 1.17

Для вывода расчетных формул выразим проекции векторовичерез проекции векторови. Обратившись к равенствам (1.36), будем иметь

(1.50)

Условие замкнутости векторного контуравыражается уравнением

(1.51) где

Проецируя уравнение (1.51) на оси координат, находим

(1.52)

Отсюда, используя равенства (1.50), определим проекции вектора:

Решая систему (1.52), получим расчетные формулы задачи о положениях структурной группы 2-го класса четвертого вида:

(1.53) где

Задача о положениях для структурной группы 2-го класса пятого вида. На схеме группы выбираются направления ортовиосей поступательных пар D и С (рис. 1.18). Задаются начала отсчета координат точек D и О. точка– начало отсчета координаты точки D, определяющей положение ползуна, и точка

D – начало отсчета координаты точки С, определяющей положение ползуна г. Угол а в зависимости от расположения шарнира В по отношению к оси CD может принимать значения, вычисляемые по формуле (1.32).

Рис. 1.18

Известными считаются вектор, размер, угол между векторамии, сборка группы (μ) и вектор с проекциями

Требуется определить орт йс и линейные координаты и

Решение задачи о положениях группы основано на использовании уравнения замкнутости векторного контура , которое записывается в виде

(1.54) где

Выразим проекции вектора через проекции орта с помощью равенств (1.36), а затем перепишем равенство (1.54) в проекциях на оси Ох, Оу. В результате получим систему линейных уравнений относительно искомых координати:

(1.55)

Для решения этой системы выразим проекции вектора через проекции вектора и угол с

Учитывая эти равенства в системе (1.55), запишем расчетные формулы для координат и

где

Получив расчетные формулы для всех видов структурных групп 2-го класса, можно переходить к исследованию кинематики любых рычажных механизмов 2-го класса. Для этого потребуется лишь несложная привязка готовых расчет- ных формул к заданному механизму, которая заключается в вычислении проекций векторов, определяющих относительное положение внешних кинематических пар группы.

Задача о положениях для дсзаксиалыюго кривошип- но-ползунного механизма с одной степенью подвижности. Поясним алгоритм решения задач кинематического анализа на примере данной задачи (рис. 1.19).

Механизм состоит из ведущего звена 1, группы Ассура 2-го класса второго вида (звенья 2, 3) и стойки 4. В качестве обобщенной координаты выбираем угол поворота ведущего звена . Требуется получить аналитические выражения для функций положения звеньев механизма и определить абсолютные координаты точки К шатуна 2.

Свяжем со стойкой исследуемого механизма неподвижную систему координат хОу. Для применения полученных выше расчетных формул используем соответствующие этим формулам обозначения. Номера звеньев: кинематические пары: внешние – В и D, средняя – С. Выбираем точкуи положительное направление оси поступательной пары – орт . Сборке группы второговида соответствует параметр , так как векторы и образуют острый угол.

Для принятого расположения осей системы хОу вектор и имеет проекции

Вычисляем проекции вектора:

(1.56)

где – длина звена 1.

С помощью расчетной формулы (1.41), выведенной для группы Ассура 2-го класса второго вида, найдем функцию положения ползуна 3. При этом учтем особенность рассматриваемого механизма и упростим запись параметров, входящих в формулу (1.41).

Так как , проекции векторапринимают вид

Приняв во внимание значения проекций вектора, находим

(1.57)

Заменив в выражениях (1.57) проекции векторас помощью равенств (1.56) и подставив полученные выражения

Рис. 1.19

параметров b и с в формулу (1.41), получим расчетную формулу для функции положения ползуна 3:

Причем для сборки группы, изображенной на рис. 1.19.

Угловая координата шатунаописывается выражением

(1.58) где

Чтобы найти проекции вектора, спроецируем на оси Ох, Оу уравнение (1.42):

Подставляя в эти равенства параметры, соответствующие данному механизму, получим

(1.59)

Таким образом, выражение (1.58) с учетом равенств (1.59) однозначно определяет функцию положения шатуна 2.

Найдем абсолютные координаты точки/С шатуна, представив ее радиус-векторследующей суммой (см. рис. 1.19):

Перепишем это равенство в проекциях на оси Ох и Оу:

(1.60)

Для рассматриваемого механизма

Проекции векторавыразим через проекции орта, для чего используем формулы (1.36), позволяющие представить проекции одного вектора функциями проекций другого вектора и угла между ними:

Подставив приведенные выражения для в равенства (1.60), получим формулы для расчета абсолютных координат заданной точки К шатуна. Таким образом, задача о положениях для рассмотренного дезаксиаль- ного кривошипно-ползунного механизма решена.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >