Полная версия

Главная arrow Финансы arrow Корпоративные финансы

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

2.3.2. Средние ставки денежного потока

У компании, как правило, есть несколько займов, по которым она выплачивает проценты. Однако для принятия решений руководству совсем необязательно знать подробности, у кого и на каких условиях был получен кредит. Для принятия решений достаточно будет знать, как дорого в среднем обходится привлечение 1 руб. заемного капитала. Это приводит к задаче нахождения средних величин отдельных потоков платежей.

Допустим, кредиты краткосрочные и взяты под простые процентные ставки. Тогда средняя стоимость займов может быть рассчитана по формуле (2.10) для одинаковых сумм, взятых на разные сроки, и по формуле (2.11) для разных сумм, взятых на разные сроки:

(2.10)

(2.11)

В формулах (2.10) и (2.11) – средняя ставка по всем ссудам; – величина j-й ссуды; – срок j-й ссуды; – процентная ставка по j-й ссуде.

Пример 2.11. Компания взяла два кредита. Первый кредит получен в банке А на 10 млн руб. под 12% годовых на 4 месяца, а второй – в банке Б на 20 млн руб. на полгода под 16% годовых. Определите среднюю ставку по кредитам для компании.

Решение

С помощью формулы (2.11) находим среднюю ставку:

Теперь убедимся в том, что 15% – действительно средняя ставка. Первая ссуда была взята в размере 10 млн руб., а вернуть необходимо млн руб. Вторая ссуда была взята в размере 20 млн руб. на полгода, и вернуть необходимо млн руб.

Итого суммарно было взято 30 млн руб., и вернуть необходимо суммарно 32 млн руб. Этот же результат мы должны получить и через среднюю ставку, если все верно было посчитано. По первой ссуде вернуть надо млн руб., а по второй млн руб. В сумме вернуть надо 32 млн руб., т.е. мы получили верный ответ. Таким образом, средняя ставка по кредитам для компании составила 15% годовых.

Для случая сложных процентов и ссуд, выданных на срок более года, формулу, подобную (2.10), можно вывести только в случае одинаковых по размеру ссуд, и это будет средняя геометрическая ставка процента. Однако в реальности такой вариант встречается чрезвычайно редко, гораздо чаще встречается вариант взятия ссуд на сроки более года под разные ставки и на разные суммы. Для этой ситуации также можно рассчитать среднюю ставку, которая называется внутренней доходностью потока платежей.

Внутренняя доходность потока платежей (internal rate of return of payment flow, IRR) – ставка сложных процентов, при которой текущая стоимость потока платежей равна текущей цене этого потока. Математически это можно записать в виде

(2.12)

Обратим внимание, что – рыночная стоимость потока платежей, которая не обязательно должна равняться приведенной стоимости потока платежей Р(0) к моменту .

Поток платежей, который представлен формулой (2.12), можно рассматривать как поток только с положительными членами, и в этом случае уравнение (2.12) будет иметь только одно решение. Хотя с точки зрения алгебры корней у этого уравнения может быть от нуля до п штук. Докажем, что если все и , то уравнение (2.12) имеет только одно решение.

Рассмотрим функцию . Очевидно, что для этой функции и Функция является непрерывной и дифференцируемой на промежутке . При этом выполняются следующие неравенства:

Следовательно, – монотонно возрастающая выпуклая вверх функция, и, таким образом, уравнение имеет только одно решение, так как график функции пересекает ось абсцисс только один раз. Таким образом, доказано, что уравнение (2.12) имеет только одно решение, если все члены потока платежей положительны.

Однако решать уравнение (2.12) затруднительно при отсутствии ЭВМ, вручную это легко сделать только до степени 2, не больше. Тогда применяют метод линейной интерполяции.

Изобразим график функции f(x) на рис. 2.4.

Линейная интерполяция для нахождения значения IRR

Рис.2.4. Линейная интерполяция для нахождения значения IRR

Так как , то график функции пересекает ось ординат ниже оси абсцисс. Функция монотонно возрастает и пересекает ось абсцисс в точке , которая является решением уравнения f(IRR) = 0. Возьмем две ставки процента , такие что . Отметим соответствующие точки на графике функции – точки А и В соответственно. В треугольнике тангенс угла наклона линии АВ равен, а длина отрезка равна. Таким образом, можно записать приближенную формулу для нахождения:

(2.13)

Чем ближе будут значения r0 и r, друг к другу, тем точнее работает формула (2.13), однако и при довольно больших разбросах приближенное значение весьма близко к реальному.

Пример 2.12. Найдите среднюю доходность потока ежегодных платежей, равных 400, 400, 200, 300 руб. в годы 1, 2, 3 и 4 соответственно. Текущая рыночная стоимость такого потока равна 1000 руб.

Решение

Попробуем две ставки 12 и 13%, взятые наугад. При ставке 12% значение функции равно -9,03 руб., а при ставке 13% – 10,15 руб. Таким образом, эти ставки подойдут для линейной интерполяции. Применяем теперь формулу (2.13):

Истинное значение , посчитанное с помощью ЭВМ, равно 12,4666%. Таким образом, приближение оказалось весьма точным.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>