Показатели структуры и формы распределения

Форма распределения отражает характер последовательного изменения частот. Для отражения особенностей структуры распределения признака в совокупности используют квантили распределения.

Квантили – это варианты признака, занимающие в упорядоченном (ранжированном) ряду единиц совокупности определенное место (каждое четвертое, каждое пятое, каждое шестое и т.д.). В результате квантили делят ряд распределения на равные (по числу единиц) части: квартили – на четыре; квинтили – на пять; секстили – на шесть; децили – на десять; перцентили – на сто частей. Значение квантилей для сгруппированных данных определяют по накопленным частотам.

Наиболее широко используют децили и квартили ряда распределения.

Первая дециль (D1) – это такое значение признака, что 0,1 (или 10%) единиц совокупности имеют значение признака меньше, чем D1, а 0,9 (90%) – больше, чем D1. Вторая дециль (D2) – это такое значение признака, что 0,2 (или 20%) единиц совокупности имеют значение признака меньше, чем /¾.а 0,8 (80%) – больше, чем D2. Аналогично определяют . Формулы расчета крайних децилей следующие:

где – нижняя граница интервалов, где находятся первая и девятая децили; – величины интервалов, где располагаются первая и девятая децили; – общая сумма частот (частостей); – суммы частот (частостей), накопленных в интервалах, предшествующих интервалам, в которых находятся первая и девятая децили; и – частота интервала, в котором располагаются соответственно первая и девятая децили.

Первая квартиль (Q1) определяет такое значение признака, что 1/4 единиц совокупности имеют значение признака меньше, чем Q1, а 3/4 – больше, чем Q1. Вторая квартиль (Q2) равна медиане. Третья квартиль (Q3) определяет такое значение признака, что 3/4 единиц совокупности имеют значения признака меньше, чем Q3, а 1/4 – больше, чем Q3. Величины крайних квартилей для интервального ряда распределения могут быть рассчитаны по следующим формулам:

где – нижняя граница интервала, в котором находятся первая и третья квартили; – суммы частот (частостей), накопленных в интервалах, предшествующих интервалам, в которых располагаются первая и третья квартили; – частота интервала, в котором находятся первая и третья квартили.

Рассмотрим расчет квартилей и децилей на примере распределения коммерческих банков по объему активов, исходные данные представлены в табл. 4.3, результаты расчетов – в табл. 4.4.

Таблица 4.4

Квартили и децили распределения кредитных организаций но объему активов

Квартиль

Порядковый

номер

квартили

Интервал квартили, млн руб.

Показатель (активы), млн руб.

Первая дециль (D1)

14

125-135

125,48

Первая квартиль (Q1)

35

135-145

135,20

Вторая квартиль, или медиана (Q2)

70

135-145

142,35

Третья квартиль (Q3)

105

145-155

149,9

Девятая дециль

(D9)

126

155-165

163,33

Данные, представленные в табл. 4.4, свидетельствуют о том, что у 10% кредитных организаций объем активов не превышает 125,48 млн руб.; у половины он меньше 142,35 млн руб., а 90% организаций имеют объем кредитов не выше, чем 163,33 млн руб.

Для характеристики формы распределения используют показатель симметричности распределения частот – коэффициент асимметрии – и показатель эксцесса, который отражает крутизну (островершинность) этого распределения. Расчету значений этих показателей предшествует вычисление так называемых моментов распределения.

Моментом распределения называют среднюю арифметическую тех или иных степеней отклонений индивидуальных значений признака от определенной исходной величины:

где xi – значения признака; А – величина, от которой определяются отклонения; k – степень отклонения (порядок момента).

В зависимости от того, что принимается за исходную величину, различают три вида моментов:

  • • начальный (М) при А = 0;
  • • центральный (μ) при А= !!!;
  • • условный (т), когда А – произвольная величина, не равная х и отличная от нуля.

Представим моменты распределения первых четырех порядков в табл. 4.5.

Таблица 4.5

Моменты распределения первых четырех порядков

Порядок

Момент распределения

начальный

центральный

условный

Первый

Второй

Третий

Четвертый

Начальный момент первого порядка представляет собой среднюю арифметическую, а центральный (нулевое свойство средней арифметической) всегда равен нулю. Центральный момент второго порядка – это дисперсия, а для третьего порядка он равен нулю в симметричном распределении и используется при определении показателя асимметрии. Центральный момент четвертого порядка применяется при вычислении показателя эксцесса.

Коэффициент асимметрии представляет собой нормированный центральный момент третьего порядка, т.е. отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:

Коэффициент асимметрии (As) характеризует асимметричность распределения признака в совокупности. Если As = 0, то распределение симметричное, если As > 0, то асимметрия правосторонняя, а если As < 0, то асимметрия левосторонняя. Величина As может изменяться от -1 до +1 (для одновершинных распределений).

Для симметричных распределений среднее арифметическое значение, мода и медиана равны между собой. Учитывая это, показатель асимметрии может быть рассчитан следующим образом:

Для оценки существенности асимметрии вычисляют показатель средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии:

Если отношение имеет значение больше трех, то это свидетельствует о существенном характере асимметрии.

Показатель островершинности распределения – эксцесс () – рассчитывается для умеренно асимметричных распределений. Он будет наиболее точным, если при вычислении используется нормированный центральный момент четвертого порядка В нормальном распределении это отношение равно трем, поэтому формула для расчета эксцесса как показателя отклонения от нормального распределения имеет следующий вид:

Эксцесс представляет собой отклонение вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения. Наличие положительного эксцесса означает, что распределение более островершинное, чем нормальное, а при отрицательном эксцессе распределение имеет более плосковершинный характер, чем нормальное.

Для оценки существенности эксцесса вычисляют показатель его средней квадратической ошибки:

Если отношение имеет значение больше трех, то это свидетельствует о существенном характере эксцесса.

Продолжим рассмотрение примера о распределении коммерческих банков по объему активов (см. гл. 3), исходный ряд которого представлен в табл. 3.3. В табл. 4.6 приведен расчет данных, которые необходимы для определения показателей степени вариации и характеристик формы распределения.

Таблица 4.6

Данные расчета показателей

Активы, млн руб.

105-115

4

110

440

33,3

133,2

4435,56

-147 704,1

4 918 548

115-125

9

120

1080

23,3

209,7

4886.01

-113 844

2 652 566

125-135

21

130

2730

13,3

279,3

3714,69

-49 405,38

657 091,5

135-145

49

140

6860

3,3

161,7

533,61

-1760,913

5811,013

145-155

28

150

4200

6.7

187,6

1256,92

8421,364

56 423,14

154-175

18

160

2880

16,7

300,6

5020,02

83 834,33

1 400 033

165-175

11

170

1870

26,7

293,7

7841,79

209 375,8

5 590 334

Итого

140

20 060

1565,8

27 688,6

-11 082,98

15 280 807

Из формул следует, что для расчета показателей вариации иа основе интервального ряда необходимо использовать середину интервала и предварительно определить среднюю величину изучаемого признака:

На основе рассчитанных обобщающих характеристик статистической совокупности коммерческих банков можно сделать следующие выводы. Средний объем активов кредитной организации составляет 143,3 млн руб., а показатели вариации: среднее линейное отклонение – 11,15 млн руб.; среднее квадратическое отклонение – 14,06 млн руб.; коэффициент вариации равен 9,81%. Отсюда следует, что изучаемая совокупность банков однородна по объему активов; асимметрия имеет несущественный характер, распределение более плосковершинно, чем нормальное отклонение от нормального распределения по показателю эксцесса, и является существенным.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >