Правило сложения дисперсий

Правило сложения дисперсий гласит, что общая дисперсия () может быть разложена на две составные части: 1) межгрупповую () и 2) среднюю из внутригрупповых дисперсий ():

Общая дисперсия отражает вариацию результативного признака, сложившуюся под воздействием всей совокупности причин и условий, определяющих его изменение. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений результативного признака от его средней величины и может быть рассчитана но следующей формуле:

Межгрупповая дисперсия характеризует ту часть общей дисперсии, которая обусловлена делением совокупности на группы, т.е. отражает различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием одного условия, т.е. это вариация признака, положенного в основу группировки.

Она равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней :

где – среднее значение признака k-й группы.

Средняя из внутригрупповых дисперсий характеризует остаточную вариацию, которая происходит под влиянием других, не связанных с группировкой факторов. Она вычисляется как средняя из внутригрупповых дисперсий ():

где– дисперсия в отдельных группах; – численность отдельных групп.

Дисперсия в отдельных группах вычисляется по формуле

Правило сложения дисперсий используют при определении степени точности типической выборки и измерении тесноты связи изучаемого результативного признака с признаками-факторами.

Ряды распределения дают возможность выявить структуру исследуемой совокупности, но сами по себе не объясняют причин, определяющих изменение этой структуры.

Для изучения влияния какого-либо фактора на результат необходимо оценить вариацию последнего, обусловленную влиянием исследуемого фактора. В аналитической группировке эту задачу решают на основе межгрупповой дисперсии. Очевидно, что чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей, тем сильнее влияние группировочного признака-фактора на изучаемый результативный признак. Показателями тесноты связи служат коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Коэффициент детерминации определяют как долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии признака-результата. Он показывает влияние изучаемого фактора х на часть общей вариации признака-результата у.

Эмпирическое корреляционное отношение – это корень квадратный из коэффициента детерминации:

Для оценки тесноты связи на основе показателя эмпирического корреляционного отношения можно воспользоваться соотношениями Чэддока:

Эмпирическое корреляционное отношение

0,1-0,3

0,3-0,5

0,5-0,7

0,7-0,9

0,9-0,99

Теснота связи

Слабая

Умеренная

Заметная

Тесная

Весьма

тесная

Если связь между признаками отсутствует, то межгрупповая дисперсия равна нулю, а следовательно, и коэффициент корреляции равен нулю.

Таким образом, чем ближе значение показателя к единице, тем сильнее связь между признаками. Рассмотрим пример анализа зависимости объема активов коммерческих банков (у) от срока их функционирования (x). Результаты группировки и промежуточные расчеты для определения показателей тесноты связи представлены в табл. 4.7.

Таблица 4.7

Данные расчета для определения показателей тесноты связи

Срок функционирования банка (.г), лет

Число банков (/)

Сумма активов по группе банков (Σ//,•),

млн руб.

Средняя величина активов по группе банков (ук), млн руб.

Сумма квадратов отклонений 1 (ук – у)2 /1

Внутригрупповая дисперсия (σί)

1-4

10

1138

113,80

8886,36

28,63

4-7

37

4904,7

132,56

4517,79

20,351

7-10

69

10 110.5

146,53

588,32

22,54

10-13

24

3951,6

164,65

10 624,36

24,65

Итого

140

20 104,8

-

24 616,83

-

Проверка правила сложения дисперсий:

Расчет показателей тесноты связи:

По изучаемой совокупности банков наблюдается высокая теснота связи между сроком их деятельности и объемом активов. Более 89% различий в объеме активов банков определяется вариацией сроков их функционирования.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >