Методика расчета тарифов и резервов в страховании жизни

К страхованию жизни (накопительным видам страхования) относятся страхование на дожитие до определенного возраста, страхование на случай смерти, смешанное страхование, семейное страхование, страхование рент и пенсий. В основе актуарных расчетов в страховании жизни лежат таблицы смертности населения.

Под таблицей смертности подразумевают сводку обработанных статистических наблюдений над дожитием и смертностью людей. Таблицы смертности, применяющиеся в страховании, содержат, как правило, девять граф.

В первой графе записывается возраст (.г) от нуля до предельного возраста, обозначаемого <в. Интервал изменения возраста в таблице равен одному году.

Вторая графа содержит сведения о числе лиц, доживших до возраста х лет. Этот показатель обозначается как lx. В первой строке этой графы записывается какое-либо число, кратное 10. Как правило, оно равно 100 000. Это число называют основанием таблицы.

Его можно интерпретировать как число родившихся. Остальные числанаходят из соотношения:

где – вероятность того, что человек в возрасте х лет доживет до возраста год. Указанные вероятности определяются на основе наблюдаемых данных о смертности.

В третьей графе содержатся значения показателя "число умерших в возрасте х лет" (). Они рассчитываются из соотношения:

В следующих шести графах содержатся так называемые коммутационные числа. Эти показатели были разработаны в конце прошлого века для сокращения записи формул и ускорения их расчетов, так как они содержат промежуточные итоги, необходимые при вычислении тарифа. Причина их использования в современной записи формул тарифов аналогична причине использования в математических формулах знаков и ∏ для сокращения записи и повышения читабельности формул. Смысловой нагрузки эти показатели не несут. Рассмотрим их подробнее:

• числа , или дисконтированные числа доживающих до возраста X.

где – дисконтирующий множитель в степени х,

• числа , или сумма дисконтированных чисел . Эти числа вычисляются как сумма чисел , начиная со значения в строке X лет и до конца таблицы, т.е. до со:

• числа , или сумма сумм дисконтированных чисел доживающих. Вычисляются как сумма чисел , начиная со значения в строке X и до конца таблицы, т.е. до :

• числа Cx, или дисконтированные числа умерших в возрасте X лет:

• числа, или сумма дисконтированных чисел умерших в возрасте X лет. Вычисляются как сумма чисел, начиная со значения в строке X и до конца таблицы, т.е. до:

• числа, или сумма сумм дисконтированных чисел умирающих. Вычисляются как сумма чисел•, начиная со значения в строке X лет и до конца таблицы, т.е. до ω:

Ниже приведены фрагменты таблицы смертности (табл. 23.1), которая представлена в Методике расчета страховых тарифов по видам страхования, относящимся к страхованию жизни.

В основу тарифных расчетов в страховании положен так называемый принцип эквивалентности обязательств страховщика и страхователя. Он гласит: обязательства страховщика и обязательства страхователя, учтенные к одному и тому же моменту времени, должны быть равны. Под обязательствами страховщика при этом понимаются финансовые обязательства по выполнению условий страховых договоров. Под обязательствами страхователя понимаются обязательства по выплате страховых взносов (премий).

Рассмотрев основные понятия, необходимые для расчета тарифа, перейдем к рассмотрению тарифов по конкретным видам страхования. Изучим методику расчета единовременного тарифа нетто на примере расчета единовременного тарифа нетто по страхованию лица в возрасте х на дожитие до возраста

Предположим, что в страховой компании страхуетсячеловек (в соответствии с данными таблицы смертности). Тогда согласно таблице смертности до возрастадоживетчеловек. Так как мы рассматриваем расчет тарифа, т.е. взноса с единицы страховой суммы (с рубля), то каждому из доживших страховая компания должна заплатить () рублей, или просторублей.

Этой суммой страховщик должен располагать через п лет после заключения договора страхования и, следовательно, уплаты взносов. Тогда современная стоимость суммырублей на момент заклю-

Таблица. 23.1

Таблица смертности и коммутационных чисел для i = 0,05

0

100 000

1923

100 000,00

1 963 928,60

36 345 698,13

1831,43

6479,59

233 181,07

1

98 077

173

93 406,67

1 863 928,60

34 381 769,54

156,92

4648,16

226 701,48

2

97 904

80

88 801,81

1 770 521,93

32 517 840,94

69,11

4491,25

222 053,31

3

97 824

65

84 504,05

1 681 720,12

30 747 319,01

53,48

4422,14

217 562,07

4

97 759

56

80 426,57

1 597 216,07

29 065 598,90

43,88

4368,66

213 139,93

5

97 703

55

76 552,86

1516 789,49

27 468 382,83

41,04

4324,79

208 771,26

о

97 648

55

72 866,44

1 440 236,64

25 951 593,34

39,09

4283,74

204 446,48

7

97 593

53

69 357,52

1 367 370,20

24 511 356,70

35,87

4244,66

200 162,73

8

97 540

50

66 018,91

1 298 012,67

23 143 986,50

32,23

4208,78

195 918,08

9

97 490

44

62 842,92

1 231 993,76

21 845 973,83

27,01

4176,55

191 709,29

32

95 044

183

19 946,52

348 154,39

5 128 956,39

36,58

3367,74

103 918,37

33

94 861

201

18 960,11

328 207,87

4 780 802,01

38,26

3331,16

100 550,63

34

94 660

220

18 018,99

309 247,76

4 452 594,14

39,88

3292,90

97 219,46

35

94 440

240

17 121,05

291 228,77

4 143 346,38

41,44

3253,02

93 926,56

36

94 200

257

16 264,33

274 107,72

3 852 117,61

42,26

3211,58

90 673,54

37

93 943

273

15 447,58

257 843,39

3 578 009,90

42,75

3169,32

87 461,96

38

93 670

286

14 669,22

242 395,81

3 320 166,51

42,66

3126,57

84 292,64

39

93 384

302

13 928,03

227 726,59

3 077 770,70

42,90

3083.91

81 166,08

40

93 082

321

13 221,90

213 798,55

2 850 044,11

43,43

3041,01

78 082,17

41

92 761

347

12 548.86

200 576,66

2 636 245,56

44,71

2997,59

75 041,15

42

92 414

382

11 906,58

188 027,80

2 435 668,90

46,87

2952,88

72 043,57

43

92 032

424

11 292,73

176 121,22

2 247 641,10

49,55

2906,01

69 090,69

44

91 608

471

10 705,43

164 828,48

2 071 519,88

52,42

2856,46

66 184,68

45

91 137

517

10 143,23

154 123,05

I 906 691,40

54,80

2804,04

63 328,22

46

90 620

559

9605,42

143 979,82

I 752 568,35

56,43

2749,24

60 524,19

47

90 061

594

9091,59

134 374,40

I 608 588,53

57,11

2692,81

57 774,95

48

89 467

622

8601,55

125282,82

I 474 214,12

56,95

2635,70

55 082,14

49

88 845

648

8135,00

116 681,27

I 348 931,31

56,51

2578,74

52 446,45

50

88 197

676

7691,11

108 546,27

I 232 250,04

56,14

2522,24

49 867,70

51

87 521

715

7268,72

100 855,17

I 123 703,77

56,55

2466,09

47 345,46

52

86 806

769

6866,04

93 586,44

I 022 848,60

57,93

2409,54

44 879,37

53

86 037

838

6481,16

86 720,41

929 262,15

60,12

2351,61

42 469,83

54

85 199

919

6112,41

80 239,25

842 541,75

62,79

2291,49

40 118,22

55

84 280

1005

5758,55

74 126,84

762 302,49

65,40

2228,70

37 826,73

56

83 275

1087

5418,93

68 368,29

688 175,65

67,37

2163,30

35 598,03

96

1216

411

11,24

26,51

55,23

3,62

9.98

23,88

97

805

292

7,09

15,27

28,72

2,45

6,36

13,90

98

513

200

4,30

8,18

13,45

1,60

3,91

7,54

99

313

131

2,50

3,88

5,27

1,00

2,31

3,63

100

182

182

1,38

1,38

1,38

1,32

1,32

1,32

чения договора страхования составитрублей. Взнос на одного застрахованного будет равен частному от деления указанной современной стоимости страхового обеспечения на количество застрахованных:

где– единовременная нетто-ставка страхования лица в возрасте X на дожитие до возраста

Если в страховой компании страхуется иное, чем, число лиц, то, учитывая, что таблицы смертности отражают законы дожития и смертности застрахованных, получаем, что количество фактически застрахованных, доживших до возраста, будет находиться в той же пропорции к исходному их количеству, в какойотносится к. Таким образом, независимо от числа застрахованных при неизменных законах смертности отношениекбудет постоянным и равным вероятности дожить с возраста х до возраста:

где– вероятность дожить с возраста х до возраста

Отсюда нетто-ставку по страхованию на дожитие можно записать в виде

Следовательно, величина тарифа нетто по страхованию на дожитие не зависит от конкретного числа застрахованных в данной страховой компании. Можно показать, что и другие тарифы нечто по страхованию жизни можно выразить только через вероятности дожить или умереть и дисконтирующие множители, т.е. они не зависят от численности застрахованных.

Замечание. При расчете тарифа всегда подразумевается, что численность застрахованных достаточно велика и в ней проявляются статистические закономерности смертности и дожития населения.

Для упрощения записи тарифной ставки используют коммутационные числа. Для того чтобы записать формулу дляв коммутационных числах, необходимо умножить числитель и знаменатель на одно и то же число. Тогда с учетом определений коммутационных чисел формула примет вид

При расчете тарифа нетто по другим видам страхования жизни пользуются той же последовательностью рассуждений, примером которой был расчет тарифа нетто на дожитие (пЕх). Формулы единовременных тарифов нетто по простейшим видам страхования жизни приведены в табл. 23.2. В частности, это различные варианты тарифов по страхованию на случай смерти и рент (пенсионного страхования). В отношении рент отметим, что различают ренты пренумерандо (выплачиваемые в начале страхового года) и ренты постнумерандо (выплачиваемые в конце страхового года). Предполагается, что рента выплачивается один раз в год в размере, равном страховой сумме. В тарифе страховой суммой является один рубль. В формулах тарифов используются следующие обозначения: х – возраст застрахованного; т – период отсрочки исполнения договора страхования (страховые выплаты в период с X лет до х + т лет не производятся); п – период действия договора страхования с момента наступления права на получение страхового обеспечения.

Если по договору страхования предполагается выплачивать несколько страховых взносов, то производят перерасчет единовременной нетто-ставки в нетто-ставку, выплачиваемую периодически. Наиболее простым случаем является договор с ежегодной уплатой страховых взносов в течение п' лет. Пересчет единовременных взносов в ежегодные осуществляется по формуле

где коэффициент рассрочки – величина, формула для расчета которой зависит от двух условий: момента уплаты взносов относительно начала страхового года и наличия ограничений на количество внесенных взносов. По первому условию различают взносы пренумерандо и постнумерандо. По второму условию различают взносы в течение определенного количества лет и пожизненные. Отметим, что формула перевода единовременных платежей в ежегодные является универсальной для любых платежей, связанных со страхованием жизни, независимо от их предназначения.

Можно показать, что формулы для коэффициентов рассрочки эквивалентны формулам по соответствующим видам рентного страхования. Таким образом, с математической точки зрения не имеет значения направление выплат: от страховщика к страхователю (ежегодная рента) или от страхователя к страховщику (ежегодный страховой взнос). Поэтому коэффициенты рассроч-

Таблица 23.2

Простейшие единовременные тарифы нетто

Вид страхования

Единовременный тариф нетто

На дожитие с возраста х лет до возраста х + 1 год

На случай смерти с возраста х лет пожизненно

На случай смерти с возраста х лет до возраста х + п лет

На случай смерти с возраста х + т лет пожизненно

11а случай смерти с возраста х + т лет до возраста х + m + п лет

Пожизненной немедленной ренты пренумерандо для застрахованного в возрасте х лет

Пожизненной ренты пренумерандо с возраста х + т лет для застрахованного в возрасте х лет

Немедленной ренты пренумерандо для застрахованного в возрасте х лет до возраста х+п лет

Ренты пренумерандо для застрахованного в возрасте .г ле г с возраста х + т лет до возраста х + т + п лет

Пожизненной немедленной ренты постнумерандо для застрахованного в возрасте .г лет

Пожизненной ренты постнумерандо с возраста лет х + т для застрахованного в возрасте х лет

Немедленной ренты постнумерандо для застрахованного в возрасте х лет до возраста х + п лет

Ренты постнумерандо для застрахованного в возрасте х лет с возраста х + т лет до возраста х + т + п лет

ки имеют те же обозначения, что и единовременные тарифы нетто по рентному страхованию (см. табл. 21.2). В связи с этим, если необходимо найти коэффициент рассрочки платежей для взносов, выплачиваемых ежегодно пренумерандо в течение первых четырех лет после заключения договора страхования, следует воспользоваться формулой для , подставив п = 4.

Для определения тарифа брутто но договорам страхования жизни в него включают нетто-ставку и элементы нагрузки. Последние представляют собой различные виды расходов страховой организации, кроме расходов на выплату страхового обеспечения. Их можно сгруппировать по частоте возникновения и способу исчисления. По этим признакам принято выделять следующие элементы нагрузки:

  • – единовременные расходы, исчисляемые в долях (процентах) от страховой суммы (а);
  • – периодические (ежегодные) расходы, исчисляемые в долях (процентах) от брутто-ставки (β);
  • – периодические (ежегодные) расходы (у) и планируемая прибыль (δ), исчисляемые в долях (процентах) от страховой суммы.

Учет этих элементов позволяет получить следующую формулу для вычисления единовременного тарифа-брутто:

где – единовременная брутто-ставка; – единовременная нетто-ставка; – коэффициент рассрочки пренумерандо на п лет действия договора страхования.

Ежегодную брутто-ставку можно определить, воспользовавшись формулой перевода единовременных взносов в ежегодные с помощью коэффициента рассрочки.

Предположим, что проводится страхование лиц в возрасте 40 лет по страхованию пожизненной пенсии с 55 лет. Предполагается, что страховые взносы будут выплачиваться ежегодно пренумерандо в течение 15 лет (15 раз). Величина единовременных расходов составляет 5% от страховой суммы, ежегодные управленческие расходы планируются в размере 2% от страховой суммы, ежегодная прибыль – 10% от страховой суммы, расходы на сбор страховых платежей – 4% от собранных взносов. Найти ежегодную брутто-ставку по данному виду страхования.

Найдем сначала единовременную нетто-ставку по данному виду страхования. Период отсрочки исполнения договора т равен 15 годам (40 + 15 = 55). В соответствии с формулой, приведенной в табл. 23.2, и данными, содержащимися в табл. 23.1, единовременная нетто-ставка будет

Для расчета единовременной брутто-ставки необходимо найти коэффициент рассрочки на весь период действия договора страхования. Договор начинает действовать с 40 лет. Время окончания действия договора не ограничено возрастом, т.е. страхование пожизненное. Следовательно, мы должны воспользоваться формулой пожизненной ренты пренумерандо:

Единовременная брутто-ставка тогда составит

Полученные результаты можно проинтерпретировать следующим образом. Для получения пожизненной пенсии с возраста 55 лет нужно единовременно внести 5,6 размера желаемых пенсий только для обеспечения страховых выплат. C учетом расходов страховой организации единовременный платеж составляет почти 8 (7,9) размеров желаемых пенсий. Таким образом, после дожития до возраста 63 года получаемые пенсии являются уже "бесплатными".

Для пересчета единовременной брутто-ставки в ежегодную необходим коэффициент рассрочки на 15 лет:

Тогда ежегодная брутто-ставка равна

Следовательно, с рубля страховой суммы страховой взнос составляет 75 коп. и должен выплачиваться в течение 15 лет один раз в год. Отметим, что сумма ежегодных платежей больше единовременного взноса. Это объясняется тем, что на единовременно внесенные средства начисляется больший инвестиционный процент.

Обоснование страхового тарифа является начальным этапом проведения любого вида страхования. Эта работа проводится до заключения договоров страхования. После их заключения одной из важнейших задач страховщика является расчет страховых резервов, в первую очередь, математического резерва.

Для расчета математического резерва премий применяют два метода: прямой и обратный.

Методику расчета математического резерва по прямому методу удобнее выразить через величину, называемую стоимостью полиса. Стоимость полиса – это величина страхового резерва в расчете па один рубль страховой суммы. Таким образом, весь резерв равен произведению стоимости полиса на страховую сумму по всем договорам страхования. Стоимость полиса, как и резерв страховых взносов, определяется на определенный момент времени после заключения договора страхования. Если обозначить k – число лет, прошедших с момента заключения договора страхования, х – возраст застрахованного в момент заключения договора страхования, то стоимость полиса будет обозначаться как .

При прямом методе расчета резерва сравнивают стоимость страхования по данному виду страхования на момент времени k с современной стоимостью взносов, которые должны заплатить страхователи. Их разность равна стоимости полиса. Если очередные страховые взносы, которые страхователь должен уплатить в момент времени k, еще не внесены, то стоимость полиса по прямому методу

где – единовременная нетто-ставка для страхования лица в возрасте лет по данному виду страхования до возраста лет; – ежегодная нетто-ставка, назначенная по данному виду страхования в возрасте х лет; – коэффициент рассрочки пренумерандо с возраста до возраста длительность действия договора страхования;– количество ежегодных страховых взносов, подлежащих уплате за весь период действия договора страхования.

Если взносы в исследуемом году уже уплачены, то формула для расчета стоимости полиса на рубль страховой суммы принимает вид

т.е. вместо коэффициента рассрочки пренумерандо использован коэффициент рассрочки постнумерандо.

Следует отметить, что при определении стоимости полиса мы считаем, что у страховой организации имеется совокупность застрахованных одного возраста, заключивших договор страхования в один и тот же день. Очевидно, что в дальнейшем можно сделать обобщение для всех застрахованных вне зависимости от возраста и даты заключения договора страхования.

При определении размера математического резерва по обратному методу сравнивают объем взносов, которые должен был бы получить страховщик, и выплат страхового обеспечения, которые он должен был бы произвести с момента заключения договора страхования и до момента, на который определяется размер резерва. В качестве исходных данных принимаются данные, положенные в основу расчета тарифа, т.е. смертность по таблице смертности и теоретическая величина инвестиционного процента. За каждый год с момента заключения договора страхования до года определения размера резерва осуществляют следующее:

  • 1) вычисляют разность между полученными взносами и произведенными выплатами в исследуемый год, т.е. находят изменение резерва;
  • 2) прибавляют изменение резерва за исследуемый год к резерву, накопленному за предыдущие годы;
  • 3) увеличивают полученную сумму на величину планового инвестиционного процента, полученного за данный год;
  • 4) возвращаются к п. 1, пока не будут пройдены все годы до года k

Расчет резерва по обратному методу более понятен, так как имитирует реальные процессы. В то же время он достаточно трудоемок. Чем больше k, тем больше итераций приведенного выше алгоритма следует провести. В настоящее время, в соответствии с российским законодательством, математический резерв должен рассчитываться прямым методом.

Величина стоимости полиса может быть использована для расчетов со страхователями, решившими досрочно прервать договор страхования или изменить его финансовые условия.

При досрочном прекращения договора страхования жизни страхователь имеет право на возврат соответствующей части резерва, которая называется выкупной суммой. Она зависит от правил страхования в конкретной страховой организации и составляет не более 90% величины, равной стоимости полиса, умноженной на страховую сумму по данному договору.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >