Главная Экономика
Исследование операций в экономике
|
|
|||||
Глава 5. Симплексный метод5.1. Геометрическая интерпретация симплексного методаВ гл. 3 рассмотрены основные теоремы линейного программирования, из которых следует, что если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно соответствует хотя бы одной угловой точке многогранника решений и совпадает по крайней мере с одним из допустимых базисных решений системы ограничений (см. теоремы 3.3, 3.4). Там же был указан путь решения любой задачи линейного программирования: перебрать конечное число допустимых базисных решений системы ограничений и выбрать среди них то, на котором функция цели принимает оптимальное решение. Геометрически это соответствует перебору всех угловых точек многогранника решений. Такой перебор в конце концов приведет к оптимальному решению (если оно существует), однако его практическое осуществление связано с огромными трудностями, так как для реальных задач число допустимых базисных решений хотя и конечно, но может быть чрезвычайно велико. Число перебираемых допустимых базисных решений можно сократить, если проводить перебор не беспорядочно, а с учетом изменений линейной функции, т.е. добиваясь того, чтобы каждое следующее решение было "лучше" (или по крайней мере "не хуже"), чем предыдущее, по значениям линейной функции (увеличение ее при отыскании максимума F → шах, уменьшение – при отыскании минимума F → min). Такой перебор позволяет сократить число шагов при отыскании оптимума. Поясним это на графическом примере. Пусть область допустимых решений изображается многоугольником ABCDEGH (рис. 5.1). Предположим, что его угловая точка А соответствует исходному допустимому базисному решению. При беспорядочном переборе пришлось бы Рис. 5.1 испытать семь допустимых базисных решений, соответствующих семи угловым точкам многоугольника. Однако из чертежа видно, что после вершины А выгодно перейти к соседней вершине В, а затем к оптимальной точке С. Вместо семи перебрали только три вершины, последовательно улучшая линейную функцию. Идея последовательного улучшения решения легла в основу универсального метода решения задач линейного программирования – симплексного[1] метода. Геометрический смысл симплексного метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многогранника ограничений (называемой первоначальной) к соседней, в которой линейная функция принимает лучшее (по крайней мере не худшее) значение (по отношению к цели задачи), до тех пор пока не будет найдено оптимальное решение – вершина, где достигается оптимальное значение функции цели (если задача имеет конечный оптимум). Впервые симплексный метод был предложен американским ученым Дж. Данцигом в 1949 г., однако еще в 1939 г. идеи метода были разработаны российским ученым Л. В. Канторовичем. Симплексный метод, позволяющий решить любую задачу линейного программирования, универсален. В настоящее время он используется для компьютерных расчетов, однако несложные примеры с применением симплексного метода можно решить и вручную. Для реализации симплексного метода – последовательного улучшения решения – необходимо освоить три основных элемента:
Для использования симплексного метода задача линейного программирования должна быть приведена к каноническому виду, т.е. система ограничений должна быть представлена в виде уравнений. Алгоритм конкретной вычислительной реализации этих элементов рассмотрим на примерах.
|
<< | СОДЕРЖАНИЕ | >> |
---|