Полная версия

Главная arrow Экономика arrow Исследование операций в экономике

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

6.5. Объективно обусловленные оценки и их смысл

Компоненты оптимального решения двойственной задачи называются оптимальными (двойственными) оценками исходной задачи. Академик Л. В. Канторович назвал их объективно обусловленными оценками[1].

Для выяснения смысла этих оценок вернемся к задаче I об использовании ресурсов и двойственной ей задаче II (см. задачу 6.2). Компоненты оптимальных решений этих задач, приведенные в задаче 6.5, даны в табл. 6.3.

Таблица 6.3

Компоненты оптимального решения исходной задачи I

Число единиц продукции

Остатки ресурсов, единиц

Превышение затрат на ресурсы над ценой реализации

Объективно обусловленные оценки ресурсов (условные цены ресурсов)

Компоненты оптимального решения двойственной задачи II

В табл. 6.3 дополнительные переменные исходной задачи I х3, х4, х5, х6, представляющие согласно выражению (6.15) разность между запасами /г ресурсов 5,, S2, 53, 54 и их потреблением, выражают остатки ресурсов, а дополнительные

переменные двойственной задачи II yv у6, представляющие в соответствии с выражением (6.16) разность между затратами на ресурсы для производства из них единицы продукции и ценами с. продукции Pv Р2, выражают превышение затрат над ценой.

Ресурсы 5., по оптимальному плану полностью использованы (), и объективнообусловленные оценки этих ресурсов ненулевые: (). Ресурсы Sv 54 не полностью используются в оптимальном плане (), и объективно обусловленные оценки этих ресурсов нулевые: ().

Таким образом, объективно обусловленные оценки ресурсов определяют степень дефицитности ресурсов: по оптимальному плану производства дефицитные (т.е. полностью используемые) ресурсы получают ненулевые оценки, а недефицитныепулевые оценки.

По оптимальному плану в исходной задаче следует производить оба вида продукции () и превышение затрат на ресурсы над ценой реализации равно нулю (,

). Если бы затраты на ресурсы превышали ценуизготавливаемой из них продукции, например продукции, т.е. если бы, то на основании теоремы на с. 109 оптимальное значение соответствующей переменной, и в этом случае по оптимальному плану производить продукцию не следовало.

Итак, в оптимальный план производства могут попасть только рентабельные, неубыточные виды продукции (правда, критерий рентабельности здесь своеобразный: цена продукции не превышает затраты на потребляемые при ее изготовлении ресурсы, а в точности равна им).

Для выяснения того, что показывают численные значения объективно обусловленных оценок ресурсов, докажем следующую теорему.

Третья теорема двойственности. Компоненты оптимального решения двойственной задачи равны значениям частных производных линейной функции по соответствующим аргументам, т.е.

(6.22)

□ Докажем эту теорему на примере задачи I (см. выражения (6.1)-(6.3) об использовании ресурсов и двойственной ей задачи II (см. выражения (6.4)-(6.6)).

В соответствии с выражением (6.4) оптимальное (минимальное) значение линейной функции

Изменим незначительно запас i-го ресурса Л на величину Ab., при этом оптимальное решение двойственной задачи не изменится (на рис. 6.1 для простейшего случая двух переменныхоптимальное решение соответствует точке В), т.е.прежние, а изменитсятолько линейная функция (на рис. 6.1 для случаяизменится наклон линии уровня).

Тогда изменение минимальных затрат на ресурсы

Рис. 6.1

А так как по первой теореме двойственности или, то максимальная прибыль (выручка) увеличится на, откуда

(6.23)

Важно, что последнее соотношение верно при достаточно малом изменении, в противном случае могут существенно измениться наклон линии уровня (см. рис. 6.1) и оптимум, так как минимум линейной функцииможет перейти в другую угловую точку соответственно с другим оптимальным решением

Понятие достаточной малости приращения запаса ресурсаможно формализовать, потребовав, чтобыстремилось к нулю. Прииз соотношения (6.23) и получается доказываемое утверждение (6.22). ■

Из соотношения (6.23) следует, что объективно обусловленные оценки ресурсов показывают, па сколько денежных единиц изменится максимальная прибыль (выручка) от реализации продукции при изменении запаса соответствующего ресурса па одну единицу.

6.7. В задаче I из 6.2 пояснить смысл значений объективно обусловленных оценок ресурсов.

Решение. В задаче 6.5 получены объективно обусловленные оценки ресурсов рассматриваемой задачи: ; т.е. при увеличении (уменьшении) запаса ресурсов А, или 52 на 1 единицу максимальная прибыль (выручка) увеличится (уменьшится) соответственно на 4/5 и 3/5 руб., а при изменении запаса ресурсовили – не изменится. ►

Двойственные оценки могут служить инструментом анализа и принятия правильных решений в условиях постоянно меняющегося производства. Так, например, с помощью объективно обусловленных оценок ресурсов возможно сопоставление оптимальных условных затрат и результатов производства.

6.8. В задаче I из 6.2, в результате решения которой получен оптимальный план выпуска продукции Р{ и Р2, появилась возможность выпуска еще одного вида продукции – Р.Л. Затраты на единицу продукции Р3 составляют: а13 = 3 единицы ресурса 5,, а.п = 2 единицы S2, α33 = 4 единицы 53 и а43 = 1 единица ресурса ⅝ цена единицы продукции Р.л равна с3 = 3 руб. Установить, даст ли прибыль включение в план выпуска дополнительно продукции Ργ Какой должна быть прибыль от единицы (цена) продукции Ру чтобы ее производство было рентабельным?

Решение. Можно включить в условия задачи продукцию Р3 и заново решить задачу, однако это потребует новых затрат (трудовых, стоимостных, временных). По необходимости в этом нет, так как известны объективно обусловленные оценки ресурсов. Действительно, сопоставим дополнительные затраты на ресурсы в расчете на единицу продукциис ценой ее реализации. Первая величина, равная

руб., больше цены продукции с3 = = 3 руб., поэтому выпуск продукции Р3 не следует включать в план выпуска, и необходимость повторного решения задачи в изменившихся условиях отпадает. А чтобы производство продукции Р.j стало рентабельным, очевидно, ее цена должна составлять не менее 3,6 руб. ►

Объективно обусловленные оценки ресурсов позволяют судить об аффекте не любых, a лишь сравнительно небольших изменений ресурсов. При резких изменениях сами оценки могут стать другими, что приведет к невозможности их использования для анализа эффективности производства.

6.9. Для задачи I из 6.2 найти интервалы устойчивости (неизменности) двойственных оценок по отношению к изменениям запасов ресурсов каждого вида. Изменятся ли эти оценки, если увеличить запасы каждого из ресурсов на 10 единиц: а) в отдельности; б) одновременно? Найти соответствующее изменение максимальной прибыли (выручки) от реализации продукции.

Решение. Предположим, что запасы ресурсов , равные первоначально 18,16,5 и 21 единице, изменились соответственно на величины. Тогда затраты на ресурсы в соответствии с выражением (6.4) составят

Заменяя переменные уу и у2 их выражениями через неосновные переменные оптимального решения (см. с. 76), получим после преобразований

(6.24)

В случае, если, т.е. запасы ресурсов равны первоначальным значениям, получилось бы знакомое выражение (6.21) линейной функции Z через неосновные переменные оптимального решения. Для того чтобы объективно обусловленные оценки ресурсов остались неизменными и при изменении запасов ресурсов, т.е. сохранилось оптимальное решение двойственной задачи

, достаточно, чтобы коэффициенты при неосновных переменных в выражении (6.24) оставались неотрицательными, т.е.

(6.25)

Предположим, что изменяется только запас ресурса а остальные запасы ресурсов остаются неизменными:

Тогда из выражения (6.25) получим, что

и или

т.е. при неизменности объективно обусловленных оценок ресурсов запас ресурса 5, может изменяться в пределах от 13 до 20,5 единиц. Аналогично можно получить, что

Таким образом, при изменении запаса только одного из ресурсов 5, в пределах от 13 до 20,5 единиц, или 52 – в пределах от 11 до 17 2/3 единицы, или S3 – в пределах не менее 4 единиц, или SA – в пределах не менее 18 единиц оптимальное решение двойетвенной задачи остается прежним, т.е. Y" – (4/5; 3/5; 0; 0; 0; 0).

На основании изложенного ясно, что увеличение на 10 единиц в отдельности запаса ресурса 5, (равного 18 единицам) или 5., (16 единиц) приведет к изменению их объективно обусловленных оценок, а запаса ресурса S3 (5 единиц) или SA (21 единица) оставит оценки этих ресурсов прежними (равными нулю). В результате с помощью полученных оптимальных оценок ресурсов невозможно найти соответствующее изменение максимальной прибыли (выручки) Afmax при заданном увеличении запаса ресурса St или S2, и задачу надо решать заново.

Если запасы всех ресурсов изменяются одновременно, то исследование устойчивости объективно обусловленных оценок усложняется, поскольку в данном случае нужно найти многогранник решений системы неравенств (6.25). Однако всегда можно проверить, удовлетворяют ли конкретные изменения запасов ресурсов системе (6.25). Так, в нашей задаче при одновременном увеличении запасов всех ресурсов на 10 единиц, т.е. при 10, все неравенства системы (6.25) справедливы, следовательно, оптимальное решение двойственной задачи остается прежним, т.е.. Поэтому изменение максимальной прибыли (выручки) с учетом выражения (6.23) составит

По соотношениям объективно обусловленных оценок могут быть определены расчетные нормы заменяемости ресурсов, при соблюдении которых проводимые замены в пределах устойчивости двойственных оценок не влияют на эффективность оптимального плана.

6.10. По условию задачи I из 6.2 определить нормы заменяемости ресурсов 5, и S2, при осуществлении которых сохранится максимальная прибыль (выручка) от продукции.

Решение. Составим отношение объективно обусловленных оценок ресурсов 5, и S2, т.е. 4:3, т.е. для максимизации общей прибыли (выручки) каждые дополнительные 3 единицы ресурса 5, эквивалентны дополнительным 4 единицам ресурса S2. Вывод верен в пределах устойчивости двойственных оценок, когда изменения запасов ресурсов а также удовлетворяют системе (6.25). ►!!!

6.11. Решить задачу I из 6.2 при изменениях запасов ресурсовиспользуя (если это возможно) двойственные оценки ресурсов.

Решение. Так как изменения запасов ресурсовнаходятся в пределах устойчивости двойственных оценок (они удовлетворяют системе (6.25)), то решение двойственной задачи остается тем же: К' = (4/5; 3/5; 0; 0; 0; 0). На основании теоремы (с. 108) и соответствия (6.14) положительным значениям переменных у = 4/5, у2 = 3/5 оптимального решения двойственной задачи соответствуют нулевые значения переменных исходной задачи: X, = 0, х4 = 0. Поэтому остальные компоненты оптимального решения исходной задачи можно найти непосредственно из ее системы ограничений, в которой х3 = 0, х4 = 0, а в правых частях указаны новые запасы ресурсов:

откуда . Соответствующее значение максимума линейной функции

Итак, максимальный размер прибыли (выручки) составитруб. при оптимальном плане производства

  • [1] В литературе их еще называют скрытыми доходами, маргинальными оценками, разрешающими множителями.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>