Главная Экономика
Исследование операций в экономике
|
|
|||||
Глава 10. Модели выпуклого программированияРассмотрим задачу нелинейного программирования (9.1) и (9.2) при условии, что функции ∕ и 10.1. Производная по направлению и градиент. Выпуклые функцииПроизводной Направление ∕ обычно задается вектором Если функция Fдифференцируема в точке X, то она имеет в этой точке производную по любому направлению /, которая выражается через частные производные по формуле где Абсолютная величина производной по направлению дает скорость изменения функции в этом направлении, а знак показывает характер изменения функции (возрастание или убывание). Градиентом VF функции Можно показать, что правление I совпадает с направлением VF. По формуле (10.1) производная функции F по направлению градиента W равна Таким образом, в каждой точке X направление градиента является направлением наибольшего возрастания функции, а длина градиента равна наибольшей скорости возрастания функции в этой точке. 10.1. Найти наибольшую скорость возрастания функции = (1; -2; 2). Решение. Так как то
Напомним (см. параграф 2.2), что множество точек называется выпуклым, если оно вместе с любыми своими двумя точками содержит и весь отрезок, соединяющий эти точки. Если а,Ь] – отрезок на числовой прямой и Нетрудно видеть и обратное: если выполняется (10.2), то Исходя из равенства (10.2) по индукции можно показать, что если М – выпуклое пространство, то для любых точек чисел tj > 0, удовлетворяющих условию Функция для любых точек Если в условии (10.2) изменить знак неравенства < на >, то получим определение вогнутой функции. Если же в условии (10.3) неравенство выполняется как строгое, то функция называется строго выпуклой (или строго вогнутой). На рис. 10.1 изображен график функции одной переменной, выпуклой на всей числовой прямой. Рис. 10.1 Для любой пары Xv Х2 значений аргумента произвольную точку
10.2. Установить выпуклость (вогнутость) функций, приведенных на рис. 10.2. Решение. Функции Рис. 10.2 Функция Рассмотрим свойства выпуклых функций. Все рассматриваемые функции предполагаются определенными на некотором выпуклом множестве М. Свойства приводятся без доказательств, но многие из них легко проверяются по определению (10.3) и для функций одной переменной иллюстрируются графиками. Алгебраические и аналитические свойства выпуклых функций.
же является выпуклой. 4. Если функция F(X) выпукла, то для любого числа а область решений неравенства F[X)< а является либо выпуклым множеством, либо пустым. Отметим следствия свойства 4 и теоремы о пересечении выпуклых множеств. 5. Если функции тельных значениях переменных, то область решений системы неравенств
При этом для выпуклой (вогнутой) функции стационарная точка всегда является точкой локального и глобального минимума (максимума). 8. Дважды дифференцируемая функция
для любыхне обращающихся в нуль од новременно. Чтобы использовать это условие для определения выпуклости конкретной функции, часто бывает полезен критерий Сильвестра[1]: условие (10.4) выполняется тогда и только тогда, когда неотрицательны все главные миноры Δ⅛ матрицы вторых частных производных, т.е. определители Если все 10.3. Показать, что следующие функции являются выпуклыми: Решение, а) Находим частные производные: Матрица вторых частных производных имеет вид Значит, на основании свойства 8 функция F является строго выпуклой при всех X. б) Здесь Матрица вторых частных производных имеет вид Таким образом, G является выпуклой, но не строго выпуклой функцией при
|
<< | СОДЕРЖАНИЕ | >> |
---|