Полная версия

Главная arrow Экономика arrow Исследование операций в экономике

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

13.4. Стохастические модели управления запасами

Рассмотрим стохастические модели управления запасами, у которых спрос является случайным. Этот факт существенным образом сказывается на характере соответствующих моделей и значительно усложняет их анализ, в связи с чем в рамках данной книги ограничимся рассмотрением наиболее простых моделей.

Предположим, что спрос г за интервал времени Т является случайным и задан его закон (ряд) распределения р(г) или плотность вероятностей ср(г) (обычно функции р(г) и (р(г) оцениваются на основании опытных или статистических данных). Если спрос г ниже уровня запаса s, то приобретение (хранение, продажа) излишка продукта требует дополнительных затрат с2 на единицу продукта; наоборот, если спрос г выше уровня запаса s, то это приводит к штрафу за дефицит с3 на единицу продукции.

В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной величиной, рассматривают ее среднее значение, или математическое ожидание.

В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе г, имеющем закон распределения р(г), математическое ожидание суммарных затрат имеет вид[1]

(13.28)

В выражении (13.28) первое слагаемое учитывает затраты на приобретение (хранение) излишка s – г единиц продукта (при г <s ), а второе слагаемое – штраф за дефицит на г – s единиц продукта (при г > s).

В случае непрерывного случайного спроса, задаваемого плотностью вероятностей <р(г), выражение C(s) принимает вид

(13.29)

Задача управления запасами состоит в отыскании такого запаса s, при котором математическое ожидание суммарных затрат (13.28) или (13.29) принимает минимальное значение.

Доказано, например в [19] или [26], что при дискретном случайном спросе г выражение (13.28) минимально при запасе 50, удовлетворяющем неравенствам

(13.30)

а при непрерывном случайном спросе г выражение (13.29) минимально при значении s0, определяемом из уравнения

(13.31) где

(13.32)

есть функция распределения спроса се значения; р – плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса, определяемая по (13.24).

Оптимальный запас s0 при непрерывном спросе по данному значению р может быть найден и графически (рис. 13.4).

Рис. 13.4

13.6. Предприятие закупает агрегат с запасными блоками к нему. Стоимость одного блока равна 5 ден. ед. В случае выхода агрегата из строя из-за поломки блока, отсутствующего в запасе, простой агрегата и срочный заказ нового блока к нему обойдутся в 100 ден. ед. Опытное распределение агрегатов по числу блоков, потребовавших замену, представлено в табл. 13.1.

Таблица 13.1

Число замененных блоков г

0

1

2

3

4

5

6

Статистическая вероятность (доля) агрегатов р(г), которым потребовалась замена г блоков

0,90

0,05

0,02

0,01

0,01

0,01

0,00

Необходимо определить оптимальное число запасных блоков, которое следует приобрести вместе с агрегатом.

Решение. По условию с2 = 5, с3 = 100. Вычислим плотность убытков из-за нехватки запасных блоков по формуле (13.24): р = 100/(5 + 100) = 0,952.

Учитывая (13.32), найдем значения функции распределения спроса (табл. 13.2).

Таблица 13.2

S

0

1

2

3

4

5

6

>6

Г

0

1

2

3

4

5

6

> 6

F(s)

0,00

0,00

0,90

0,95

0,97

0,98

0,99

1,00

Очевидно (см. табл. 13.2), что оптимальный запас составит, так как он удовлетворяет неравенству (13.30): F(3) < 0,952 < F(A).

13.7. Решить задачу 13.6 при условии непрерывного случайного спроса г, распределенного по показательному закону с функцией распределенияпри

Решение. Оптимальное число запасных блоков ⅝ найдем изуравнения (13.31):.откудаи

i. При(блока). ►

В условиях рассматриваемой модели предположим, что расходование запаса происходит непрерывно с одинаковой интенсивностью. Такую ситуацию можно представить графически (рис. 13.5).

Рисунок 13.5, а соответствует случаю г ≤ s, когда спрос не превосходит запаса, а рис. 13.5, б – случаю, когда спрос превышает запас, т.е. г > s. Следует отметить, что на самом деле график j(t) представляет ступенчатую ломаную, показанную на рис. 13.5 пунктиром, но для исследования модели нам проще рассматривать J(l) в виде прямой, сглаживающей эту ломаную.

Средний запас, соответствующий рис. 13.5, а, равен

(13.33)

Средний запас, соответствующий рис. 13.5, б, с учетом формулы (13.17), в которой полагаем η-r, составляет

(13.34)

Средний дефицит продукта за период Т2 для случая, соответствующего рис. 13.5, б, с учетом (13.17), где п = г, равен

(13.35)

Рис. 13.5

Математическое ожидание суммарных затрат составит

(13.36)

Доказано [19, 27], что в этом случае математическое ожидание (13.36) минимально при запасе s0, удовлетворяющем неравенству

(13.37)

где р по-прежнему определяется по формуле (13.24):

(13.38)

и– значения функции (13.38), a F(s) находится в соответствии с определением (13.32).

13.8. Имеющиеся на складе изделия равномерно расходуются в течение месяца. Затраты на хранение одного изделия составляют 5 ден. ед., а штраф за дефицит одного изделия обходится в 100 ден. ед. Изучение спроса дало распределение числа потребляемых за месяц изделий, представленное в табл. 13.3.

Таблица 13.3

Спрос г

0

1

2

3

4

5

>6

Статистическая вероятность р(г)

0,1

0,2

0,2

0,3

0,1

0,1

0,0

Необходимо определить оптимальный месячный запас склада.

Решение. Так же, как в задаче 13.6,

Значения функции L (г) определим с помощью табл. 13.4.

Таблица 13.4

S

Г

0

0

0,1

-

-

-

0,0

-

1

1

0,2

0,200

0,445

0,2225

0,1

0,3225

2

2

0,2

0,100

0,245

0,3675

0,3

0,6675

3

3

0,3

0,100

0,145

0,3625

0,5

0,8625

4

4

0,1

0,025

0,045

0,1575

0,8

0,9575

5

5

0,1

0,020

0,020

0,0900

0,9

0,9900

>6

>6

0,0

0,000

0,000

0,0000

1,0

1,0000

Очевидно, что оптимальный запас изделий s0 = 3, так как он удовлетворяет условию (13.37): L (3) < 0,952 < L (4). ►

  • [1] Учитываем только расходы на неиспользованные единицы продукта.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>