Полная версия

Главная arrow Экономика arrow Исследование операций в экономике

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

15.4. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний

Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем

на примере случайного процесса из задачи 15.1, граф которого изображен на рис. 15.1. Будем полагать, что все переходы системы из состояния 5 в 5 происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями λ•. (i, j = = 0, 1,2, 3); так, переход системы из состояния S0 в 5, будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния в S0 под воздействием потока "окончаний ремонтов" первого узла и т.п.

Граф состояния системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называть размеченным (см. рис. 15.1). Рассматриваемая система S имеет четыре возможных состояния. 5q, iSj, S2, 5"->-

Вероятностью i-го состояния называется вероятность pit) того, что в момент t система будет находиться в состоянии 5(.. Очевидно, что для любого момента t сумма вероятностей всех состояний равна единице:

(15.8)

Рассмотрим систему в момент t и, задав малый промежуток At, найдем вероятность p0(t + At) того, что система в момент (ί + Δί) будет находиться в состоянии 50. Это достигается разными способами.

1. Система в момент t с вероятностью pQ(t) находилась в состоянии 50, а за время At не вышла из него.

Вывести систему из этого состояния (см. граф на рис. 15.1) можно суммарным простейшим потоком с интенсивностью (λ01 + λ02), т.е. в соответствии с (15.7) с вероятностью, приближенно равной (λ01 + λ0.,)Δί. Л вероятность того, что система не выйдет из состояния 50, равна [ΐ-(λοι + λ0.,)Δί]. Вероятность того, что система будет находиться в состоянии 50 по первому способу (т.е. того, что находилась в состоянии 50 и не выйдет из него за время Δί), равна по теореме умножения вероятностей

2. Система в момент t с вероятностью p^t) (или p2(t)) находилась в состоянии 5) или S2 и за время At перешла в состояние 50.

Потоком интенсивностью λ10 (или λ20 – см. рис. 15.1) система перейдет в состояние 50 с вероятностью, приближенно

равной λ,0Δί (или λ20Δί)• Вероятность того, что система будет находиться в состоянии 50 по этому способу, равна Ρι(ί)10Δί (или ρ2(ί)λ20Δί).

Применяя теорему сложения вероятностей, получим откуда

Переходя к пределу при At → 0 (приближенные равенства, связанные с применением формулы (15.7), перейдут в точные), получим в левой части уравнения производную р'0 (ί) (обозначим ее для простоты р'0):

Получили дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. уравнение, содержащее как саму неизвестную функцию, так и ее производную первого порядка.

Рассуждая аналогично для других состояний системы 5, можно получить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

(15.9)

Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова. В левой части каждого из них стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части – сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го состояния).

В системе (15.9) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение (15.8).

Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в том, что требуется задать так называемые начальные условия, т.е. в данном случае вероятности состояний системы в начальный момент t = 0. Так, например, систему уравнений (15.9) естественно решать при условии, что в начальный момент оба узла исправны и система находилась в состоянии 50, т.е. при начальных условиях р0 (0) = 1, рх (о) = р2 (О) = р3 (О) = 0.

Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени. Особый интерес представляют вероятности системы р-(!) в предельном, стационарном режиме, т.е. при t → ∞, которые называются предельными (или финальными) вероятностями состояний.

В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.

Предельная вероятность состояния Sj имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии. Например, если предельная вероятность состояния 50, т.е. р0 = 0,5, то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии 50.

Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в уравнениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. Для системы S с графом состояний, изображенном на рис. 15.1, такая система уравнений имеет вид:

(15.10)

Систему (15.10) можно составить непосредственно по размеченному графу состояний, если руководствоваться правилом, согласно которому слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния рг умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного

состояния, а справа – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

15.2. Найти предельные вероятности для системы S из задачи 15.1, граф состояний которой приведен на рис. 15.1, при

Решение. Система алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим для данной системы, имеет вид (15.10) или

(15.11)

Здесь мы вместо одного "лишнего" уравнения системы (15.10) записали нормировочное условие (15.8).

Решив систему (15.11), получим р() = 0,40, pi = 0,20, р2 = 0,27, р3 = 0,13, т.е. в предельном, стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет находиться в состоянии 5Н (оба узла исправны), 20% – в состоянии 5, (первый узел ремонтируется, второй работает), 27% – в состоянии S2 (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% времени – в состоянии 53 (оба узла ремонтируются). ►

15.3. Найти средний чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме системы 5 в условиях задач 15.1 и 15.2, если известно, что в единицу времени исправная работа первого и второго узлов приносит доход соответственно в 10 и 6 ден. ед., а их ремонт требует затрат соответственно в 4 и 2 ден. ед. Оценить экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу времени).

Решение. Из задачи 15.2 следует, что в среднем первый узел исправно работает долю времени, равную р{) + р2 = = 0,40 + 0,27 = 0,67, а второй узел – р0 + p= 0,40 + 0,20 = = 0,60. В то же время первый узел находится в ремонте в среднем долю времени, равную р{ + р3 = 0,20 + 0,13 = 0,33, а второй узел – р2 + р3 = 0,27 + 0,13 = 0,40. Поэтому средний чистый доход в единицу времени от эксплуатации системы, т.е. разность между доходами и затратами, равен

Уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого из узлов в соответствии с (15.6) будет означать увеличение вдвое интенсивностей потока "окончаний ремонтов" каждого узла, т.е. теперь, и система линейных алгебраических уравнений (15.10), описывающая стационарный режим системы У, вместе с нормировочным условием (15.8) примет вид[1]:

Решив систему, получим р0 = 0,60, р, = 0,15, р2 = 0,20, р3 = 0,05.

Учитывая, что р0 + р2 = 0,60 + 0,20 = 0,80, р0 + р{ = 0,60 + + 0,15 = 0,75, р{ + р3 = 0,15 + 0,05 = 0,20, р2 + р3 = 0,20 + + 0,05 = 0,25, а затраты на ремонт первого и второго узла составляют теперь соответственно 8 и 4 ден. ед., вычислим средний чистый доход в единицу времени:

Так как Д1 больше Д (примерно на 20%), то экономическая целесообразность ускорения ремонтов узлов очевидна. ►

  • [1] При записи системы (15.10) одно "лишнее" уравнение мы исключили.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>