Полная версия

Главная arrow Страховое дело arrow Актуарные расчеты

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

2.5. Степень риска

Для приближенной первичной оценки целесообразности принятия риска рассчитывают коэффициент, называемый в актуарных расчетах степенью риска:

(2.21)

где М( У) и σ( Υ) – математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение ущерба по договору.

Степень риска представляет собой с точки зрения математической статистики не что иное, как коэффициент вариации – отношение среднего квадратического отклонения ущерба к его математическому ожиданию, безразмерный показатель меры рассеяния значений ущерба. С ростом объема портфеля договоров этот коэффициент убывает (повышается финансовая устойчивость страховщика) – степень риска снижается.

По его значениям страховщик осуществляет первичную оценку целесообразности принятия/непринятия риска. В актуарной литературе принято считать, что риск приемлем, если Κ(Υ) < 0,3.

Степень риска договора, имеющего при наступлении страхового случая распределенный ущерб:

(2.22)

Если при наступлении страхового случая ущерб фиксирован:

(2.23)

В портфеле из п однородных договоров, число страховых случаев в котором удовлетворяет биноминальному закону распределения:

где К – степень риска в одном договоре страхования; К„ – степень риска в портфеле из п однородных договоров.

При увеличении любого портфеля независимых договоров в п раз степень риска уменьшается в У/Г раз:

(2.24)

ПРИМЕР 2.6

В страховую компанию обратился потенциальный страхователь и предложил новый для страховщика риск. Страховая сумма S=C= = 20 000 у.е. Страховщик оценил вероятность р страхового случая в 0,001. По условию договора, если страховой случай произойдет, страховая компания выплачивает страховую сумму полностью.

  • а) Определите, заинтересован ли страховщик в принятии этого риска. Какова степень риска принятия такого договора?
  • б) Найдите условия, когда предложенный новый вид риска страховая компания сможет принять с рекомендуемой степенью риска, равной 0,3.

Решение

а) Так как ущерб фиксирован, вычислим рисковую премию по новому виду риска по формуле

Для принятия риска страховщик, кроме величины средней выплаты, должен оценить и величину отклонения от среднего. В связи с тем, что ущерб фиксирован, число страховых случаев, произошедших за год в таком "портфеле" (из 1 договора), подчиняется биноминальному закону распределения со следующими параметрами:

Для определения величины отклонения выплаты от своего среднего необходимо страховую сумму умножить на среднеквадратическое отклонение:

Степень риска страховщика будет составлять:

Это значение можно легко получить по выведенной нами для одного договора с фиксированным ущербом формуле (2.23):

Мы выяснили, что страховщику целесообразно отказаться от такого вида риска, так как степень риска более чем в 100 раз превышает допустимое значение (0,3).

б) Мы знаем, что с ростом объема портфеля степень риска снижается, поэтому задача сводится к определению такого объема, когда страховщик может принять новый вид на приемлемом уровне степени риска, равном 0,3. Пользуясь формулой (2.24), можем записать:

Для того чтобы страховая компания реализовывала новый вид страхования на допустимом уровне риска, необходимо продать не менее 11 100 аналогичных полисов.

Ответы:

  • а) так как степень риска К(У)=31,6, то страховой компании нужно отказаться от принятия к страхованию такого одиночного риска;
  • б) чтобы внедрить новый вид страхования и обеспечить выплаты только собранными премиями, необходимо увеличить объем портфеля до п = 11 100 аналогичных рисков.

Существует принципиальное различие роли среднего квадратического отклонения (СКО) в имущественном страховании и страховании жизни. В имущественном страховании эта роль очень велика, так как риск оценивается степенью риска К. В страховании жизни актуарий опирается на устойчивые закономерности, выраженные кривой дожития, поэтому роль СКО незначительна. Размер выплат в страховании жизни, как правило, фиксирован, а в имущественном страховании – распределен, поэтому степень риска в имущественном страховании выше, чем в страховании жизни.

Максимальный размер принимаемого риска. Решение "принимать / не принимать" новый риск основано на принципе уменьшения степени риска: не принимать риски, которые ухудшают ситуацию в портфеле. Максимум определяют, опираясь на принцип равенства степени риска до и после принятия нового риска. Поэтому максимальный размер принимаемого риска зависит от степени риска и величины страхового портфеля компании.

Влияние степени риска на рисковую надбавку таково, что чем выше степень риска (коэффициент К), тем выше должна быть рисковая надбавка.

Сравнение ранее полученных формул для относительной рисковой надбавки, рассчитанной квантильным методом, и степени риска приводит к их линейной зависимости:

(2.25)

Таким образом, при увеличении портфеля договоров в п раз как степень риска, так и рисковая надбавка уменьшатся в ψη раз. Это, как мы уже подчеркивали, позволяет крупным страховым компаниям, собирающим портфели договоров большого объема, предлагать своим клиентам более низкие тарифы, повышая свою конкурентоспособность, и при этом ничуть не проигрывая в надежности (вероятности неразорения).

В то же время размер рисковой надбавки не может превышать разумных пределов, поскольку есть страховой рынок и средняя цена услуг на нем. Поэтому страховщик вынужден

либо отказать клиенту, либо предложить взять часть риска на себя. В последнем случае практикуют договоры с пропорциональным возмещением ущерба, по правилу первого риска, договоры с франшизой, т.е. различные договоры частичного страхования.

ПРИМЕР 2.7

Владелец квартиры застраховал ее от ущерба на случай затопления на 2000 у.е. сроком на 1 год. Рассмотрите договор пропорциональной защиты с ответственностью страховщика 60% от ущерба, если вероятность страхового случая оценена в 5%, а величина ущерба распределена:

  • 1) равномерно от 0 до стоимости объекта 2 тыс. у.е.;
  • 2) по усеченному экспоненциальному закону с плотностью

Найдите для каждого варианта:

  • а) единовременную рисковую премию;
  • б) относительную рисковую надбавку (с помощью квантиль- ного принципа), обеспечивающую вероятность выполнения страховщиком своих обязательств не ниже 78%, а также нетто-премию и брутто-премию, при нагрузке на ведение дел и прибыли 15% от тарифа, если страховщик имеет в своем портфеле 210 таких договоров;
  • в) какими станут относительная рисковая надбавка, нетто-премия и брутто-премия, если объем портфеля увеличится в 7 раз.

Решение

1. Поскольку страхователь выбрал договор с пропорциональной защитой с ответственностью страховщика 60% от ущерба, то согласно определению такого вида договора страховщик возмещает сумму, равную 0,6Х, для всех наступивших убытков. Поэтому выплаты страховщика равны: Y = 0,6 • X.

Напомним, что рисковая премия – это математическое ожидание ущерба. Найдем условное математическое ожидание выплат страховщика при условии, что страховой случай произошел, по формуле (2.5):

1а. Функция плотности вероятностей согласно равномерному закону распределения:

Тогда

Дисперсия выплат страховщика при условии, что страховой случай произошел, согласно (2.7) равна:

Для перехода к безусловному распределению ущерба вычислим полное математическое ожидание (2.8) и дисперсию (2.9) выплат:

Единовременная рисковая премия страховщика по такому договору РП = 30 у.е.

1б. Для нахождения рисковой надбавки используем другую формулу по сравнению с примером 2.4 – а именно выведенную формулу (2.25), связывающую относительную рисковую надбавку со степенью риска.

Рассчитаем коэффициент вариации – показатель степени риска по исследуемому договору:

Коэффициент вариации (> 0,3 во много раз) говорит об очень высокой степени риска в одном договоре.

Теперь определим относительную рисковую надбавку Θ. Она обеспечивает неразорение страховщика на заданном уровне. Вероятность выполнения обязательств страховщиком по условию задачи:

Получили, что функция распределения стандартного нормального закона Φ(ί,_Ε) = 0,78, следовательно (приложение 1), квантиль требуемого уровня ί]_ε = 0,77.

Итак, относительная рисковая надбавка при данных условиях составляет (2.25):

А степень риска в портфеле из 210 таких договоров уменьшилась до (2.24):

Она стала почти приемлемой.

Размер нетто-премии легко определить по (2.10), используя ранее полученные вычисления:

Тогда брутто-премия с учетом нагрузки на ведение дела 15% равна (2.1):

1в. Теперь рассмотрим вариант увеличения объема портфеля в 7 раз. Тогда относительная рисковая надбавка будет равна:

Степень риска уменьшится:

Уменьшится и нетто-премия:

Брутто-премия с увеличением объема портфеля станет равна:

Таким образом, с увеличением объема портфеля в 7 раз относительная рисковая надбавка уменьшится в раз (почти в 2,65 раза), и, соответственно, уменьшатся и нетто-, и брутто-нремии, повысив таким образом конкурентоспособность страховщика.

2. Аналогично рассуждая, вычислим характеристики ущерба страховщика, если функция плотности подчинена усеченному экспоненциальному закону распределения.

Усеченное экспоненциальное распределение (truncated exponential distributum) определяется посредством функции распределения[1]:

Это распределение смешанного типа. Оно имеет, как показано на рисунке, как непрерывную часть с функцией плотности вероятности , так и дискретную часть – "сгусток" вероятностной массы[2] (probability mass в оригинале) в точке С.

График этой функции распределения имеет вид:

В нашем случае параметр экспоненциального распределения по условию равен λ = 0,001, вероятностная масса в точке С:

Это значение соответствует вероятности всех ущербов, превышающих максимальное значение, равное страховой сумме договора 2000 у.е., при которой выплаты отсекаются на уровне С.

Моменты такой смешанной случайной величины находятся как сумма моментов для дискретной и непрерывной составляющей:

Теперь приступим к нахождению условных числовых характеристик значений ущерба – математического ожидания (2.5) с учетом частичных выплат страховой компании – договора пропорциональной защиты:

Аналогично по формуле (2.7) интегрированием по частям находится условная дисперсия:

Теперь вычислим безусловное распределение ущерба и степень риска по формулам (2.8) и (2.9):

В этом варианте функции распределения ущерба коэффициент вариации еще выше, чем в первом варианте и также больше 0,3 во много раз, что говорит об очень высокой степени риска, присущей одному такому договору.

Рассуждая аналогично первой части решения, получим следующие значения рисковой надбавки, нетто-премии и брутто-премии для портфеля из 210 договоров:

При увеличении объема портфеля страховщика в 7 раз соответствующие величины изменятся следующим образом:

С увеличением объема портфеля в 7 раз относительная рисковая надбавка также уменьшится в {7 раз (почти в 2,65 раза), и соответственно уменьшатся и нетто-, и брутто-премии, повысив таким образом конкурентоспособность страховщика.

Ответы:

  • [1] См. пример 2.5.2 в кн.: Бауэрс Н., Гербер X., Джойс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика: нер. с англ. М.: Янус-К, 2001. С. 56-57.
  • [2] Там же. С. 46; 56.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>