Полная версия

Главная arrow Страховое дело arrow Актуарные расчеты

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

3.2.1. Расчет точного распределения совокупного ущерба в индивидуальных моделях методом свертки (композиции)

В индивидуальных моделях страховые выплаты, производимые страховой компанией, представляются как сумма выплат многим отдельным лицам. В большинстве случаев страховые выплаты отдельным лицам предполагаются независимыми. Поскольку суммарные выплаты Z представляют собой сумму независимых случайных величин, распределение случайной величины Z может быть определено с помощью классических теорем и методов теории вероятностей – использования свертки (композиции) случайных величин[1].

Непрерывные случайные величины

Если Х1 и Х2 две независимые случайные величины с функциями распределения FjCxj) и Е2(.г2), то функция и плотность распределения величины Z = Xt + Х2:

Применяя формулу свертки несколько раз, можно подсчитать функцию распределения или плотности любого количества слагаемых случайных величин.

Дискретные случайные величины

Если Хх и Х2 – независимые дискретные случайные величины, причем, как правило, целочисленные (выплаты в страховании либо являются целочисленными величинами, либо их можно представить такими), то работают с их законами распределения вероятностей:

Чтобы найти закон распределения суммы необходимо просуммировать вероятности всех возможных вариантов, когда случайные величины Х{ и Х2 дают в сумме нужное значение:

(3.1)

ПРИМЕР 3.1

Портфель состоит из трех независимых однотипных договоров страхования неких крупных объектов, учитывающих:

  • – гибель всего объекта, возможную с вероятностью 0,05 и при которой выплаты составляют 2 000 000 у.е.;
  • – разрушение главного агрегата объекта, вероятность которого оценивают как 0,1 и выплаты равны 1 000 000 у.е.

Требуется найти:

  • а) точное распределение суммарного ущерба по портфелю, используя метод сверток;
  • б) размер рисковой премии, собираемой но такому портфелю и обеспечиваемую собранной суммой вероятность неразорения страховой компании;
  • в) суммарную рисковую надбавку, необходимую чтобы достичь вероятности неразорения 0,95.

Решение

Итак, распределение ущерба по каждому из трех договоров имеет вид:

0

1 000 000 у.е.

2 000 000 у.е.

0,85

0,1

0,05

Для сокращения и удобства записи распределений введем обозначение одной единицы страховой суммы 1 ЕСС = 1 000 000 у.е. Тогда распределение ущерба (в ЕСС) примет простой целочисленный вид:

0

1

2

0,85

0,1

0,05

а) Для подсчета суммы трех случайных величин – составления закона распределения суммарного ущерба по портфелю – последовательно сложим сначала первые две случайные величины, а затем к полученному распределению прибавим третью случайную величину – ущерб по третьему договору страхования.

Для суммирования Х{ и Х2 – свертки последовательностей /?,(/) и p->(j) запишем матрицу совместного распределения Xj и Х2, каждый элемент которой представляет собой вероятность совместного наступления событийкоторая, вследствие независимости случайных величин, равна произведению вероятностей:

Для удобства расчета слева укажем столбец из вероятностей Pi(i), а сверху – строку из вероятностей p2(j)'•

Для распределения ущерба по двум договорам страхования X, и Х2 получаем:

0

1

2

3

4

Σ

0,7225

0,17

0,095

0,01

0,0025

1

Например, по (3.1) для суммарного ущерба, равного 0, 1, 2:

и т.д.

Как видно, суммируются вероятности, параллельные главной диагонали матрицы совместного распределения вероятностей.

Для распределения суммарного ущерба по портфелю необходимо к только что построенному распределению прибавить третью случайную величину . Для этого сначала образуем матрицу их совместного распределения из трех строк и шести столбцов:

и в итоге получаем аналогично предыдущему этапу по (3.1) искомое точное распределение суммарного ущерба по портфелю из трех одинаковых договоров.

б) Размер суммарной рисковой премии будет равен математическому ожиданию ущерба по портфелю:

А еще проще воспользоваться свойством математического ожидания суммы независимых случайных величин:

премия на один договор

Рисковая премия на один договор: РП = M(Xj) = 0,2 ЕСС = = 200 000 у.е.

Собранной суммарной рисковой премии не хватит даже на 1 ЕСС выплат, поэтому страховая компания не разорится только в том случае, если выплат не будет вообще.

Вероятность неразорения (1 – ε) = P(Z = 0) = 0,614125.

в) Чтобы определить, какую суммарную рисковую надбавку необходимо собирать, чтобы достичь вероятности неразорения 0,95, добавим к построенному распределению накопленные вероятности – функцию распределения случайной величины Z:

0

1

2

3

0,614125

0,21675

0,133875

0,0265

Рт накопл

0,614125

0,830875

0,96475

0,99125

Рт

0,007875

0,00075

0,000125

Рт накопл

0,999125

0,999875

1

Мы видим, что с вероятностью 0,96475 > 0,95 выплаты в портфеле договоров не будут превышать 2 ЕСС. Значит, суммарная рисковая надбавка должна покрывать все убытки, превышающие математическое ожидание ущерба – суммарную рисковую премию:

или по PH = 0,4(6) ЕСС = 466 667 у.е. на один договор.

Относительная рисковая надбавка составит 0 = 2,333 = 233,3%.

Такая огромная рисковая надбавка обусловлена тем, что у нас всего три договора с очень большой дисперсией риска.

Необходимость свертки возникает в малых по объему портфелях, когда нормальная аппроксимация неприменима. Например, при страховании космических и энергетических рисков, крупных промышленных объектов и т.п. – когда договоров немного, объекты имеют чрезвычайно высокую стоимость и важно знать точное распределение ущерба по всему портфелю. Часто такие портфели бывают неоднородными по составу.

Рассмотрим для примера такой неоднородный портфель с разными договорами.

ПРИМЕР 3.2

Портфель состоит из трех независимых договоров страхования неких крупных объектов, учитывающих:

  • – гибель всего объекта;
  • – разрушение главного агрегата объекта.

Вероятности этих событий и выплаты при этом составляют:

Необходимо найти:

  • а) точное распределение суммарного ущерба по портфелю X + + Y + Z, используя метод сверток;
  • б) размер суммарной рисковой премии, собираемой по такому портфелю, и обеспечиваемую собранной суммой вероятность неразорения страховой компании;
  • в) размер рисковой надбавки, обеспечивающей вероятность неразорения, равную 0,98;
  • г) сколько денежных средств необходимо иметь страховой компании в собственных активах, если при заданной в пункте в) надежности относительная рисковая надбавка не должна превышать 15%.

Решение

Портфель состоит из трех разных договоров страхования, но алгоритм построения распределения суммарного ущерба абсолютно такой же, как в примере 3.1. Для сокращения и удобства записи распределений введем обозначение одной единицы страховой суммы 1 ЕСС = 500 000 у.е. Тогда распределение ущерба по всем трем договорам примет простой целочисленный вид:

Vi

0

1

3

Pi

0,7

0,1

0,2

Vi

0

1

4

Pi

0,8

0,1

0,1

Xi

0

2

4

Pi

0,7

0,2

0,1

а) Для подсчета суммы трех случайных величин – составления закона распределения суммарного ущерба по портфелю – последовательно сложим сначала первые две случайные величины, а затем к полученному распределению прибавим третью случайную величину – ущерб по третьему договору страхования.

Алгоритм решения абсолютно аналогичен примеру 3.1, приведем краткое описание решения с основными результатами. Совместное распределение (X; У) имеет вид:

X

0

2

4

Y

0,7

0,2

0,1

0

0,8

0,56

0,16

0,08

1

0,1

0,07

0,02

0,01

4

0,1

0,07

0,02

0,01

Суммарный ущерб по договорам X + Y имеет вид (3.1):

X+Y=k

0

1

2

3

4

5

6

8

Σ

Pk

0,56

0,07

0,16

0,02

0,15

0,01

0,02

0,01

1

Для распределения искомого суммарного ущерба по портфелю X + У + Z необходимо к только что построенному распределению прибавить третью случайную величину Z. Для этого сначала образуем матрицу их совместного распределения:

X+Y

0

1

2

3

4

5

6

8

Z

0,56

0,07

0,16

0,02

0,15

0,01

0,02

0,01

0

0,7

0,392

0,049

0,112

0,014

0,105

0,007

0,014

0,007

1

0,1

0,056

0,007

0,016

0,002

0,015

0,001

0,002

0,001

3

0,2

0,112

0,014

0,032

0,004

0,03

0,002

0,004

0,002

В итоге получаем аналогично предыдущему этапу по (3.1) искомое точное распределение суммарного ущерба по портфелю из трех разных договоров:

V=X+ Y + Z=m

0

1

2

3

4

5

Pm

0,392

0,105

0,119

0,142

0,121

0,054

V=X+Y+Z=m

6

7

8

9

11

Pm

0,019

0,032

0,009

0,005

0,002

б) Размер суммарной рисковой премии будет равен математическому ожиданию ущерба по портфелю:

А еще проще воспользоваться свойством математического ожидания суммы независимых случайных величин:

Собранной суммарной рисковой премии хватит на 2 ЕСС выплат, поэтому для нахождения обеспечиваемой ею вероятности неразорения страховщика построим функцию распределения суммарного ущерба по портфелю:

0

1

2

3

4

5

Рт

0,392

0,105

0,119

0,142

0,121

0,054

Рт накопл

0,392

0,497

0,616

0,758

0,879

0,933

Pm

0,019

0,032

0,009

0,005

0,002

Рт накопл

0,952

0,984

0,993

0,998

1

Если страховая компания будет собирать только рисковую премию, она не разорится с вероятностью: (1 – ε) = Р( V< 2) = 0,616.

в) Чтобы определить, какую суммарную рисковую надбавку необходимо собрать, чтобы достичь вероятности неразорения 0,98, посмотрим в предыдущей таблице функции распределения, где достигается накопленная вероятность 0,98.

Мы видим, что с вероятностью 0,984 > 0,98 выплаты в портфеле договоров не будут превышать 7 ЕСС: P(V < 7) = 0,984. Значит, суммарная рисковая надбавка должна покрывать все убытки, превышающие математическое ожидание ущерба – суммарную рисковую премию:

Относительная рисковая надбавка составит Θ = 2,5 = 250%.

Столь большая рисковая надбавка обусловлена тем, что у нас всего три договора с очень большой дисперсией риска.

г) Чтобы определить, сколько денежных средств необходимо иметь страховой компании в собственных активах, если при заданной в пункте в) надежности относительная рисковая надбавка не должна превышать 15%, определим, чему тогда должна быть равна суммарная рисковая надбавка:

Тогда для обеспечения надежности 1 – ε = 0,98 страховой компании необходимо иметь следующее количество собственных средств:

Это очень большая сумма, поэтому страховой компании более разумно перестраховать такие крупные риски (см. гл. 5) и назначить, если это возможно, более высокую рисковую надбавку.

  • [1] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: ЛИБРОКОМ, 2010; Вентцель E. С. Указ, соч.; Фалин Г. И., Фалин А. И. Указ. соч.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>