Полная версия

Главная arrow Страховое дело arrow Актуарные расчеты

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

3.2.3. Нормальная аппроксимация совокупного ущерба по портфелю

Если количество договоров в портфеле достаточно велико, то можно воспользоваться центральной предельной теоремой теории вероятности для нахождения численных значений распределения суммы независимых случайных величин по следующему алгоритму:

  • 1) найти средние и дисперсии случайных величин, для каждой случайной величины;
  • 2) просуммировать их для того, чтобы найти среднюю и дисперсию для всего портфеля в целом;
  • 3) воспользоваться нормальным (гауссовским) приближением.

Если случайные величины независимы и одинаково распределены со средним μ и дисперсией , то по центральной предельной теореме[1]:

(3.10)

где– функция распределения стандартного нормального закона распределения (приложение 1).

Функция распределения величины совокупного ущерба по портфелю :

(3.11)

ПРИМЕР 3.5

По данным примера 3.1 найдите, сколько таких договоров должен собрать страховщик, чтобы при заданной в пункте в) надежности 1 – ε = 0,95 относительная рисковая надбавка не превышала 20% (использовать нормальную аппроксимацию) и заданная вероятность неразорения обеспечивалась только собранными премиями.

Решение

Согласно (3.11)

Согласно (2.25) относительная рисковая надбавка равна:

Преобразуем эту формулу и выразим число договоров п:

(3.12)

По условию надо обеспечить вероятность неразорения F(t) = = 0,95. Отсюда Φ(ί) = 0,95 => по таблице приложения 1 функции распределения стандартного нормального закона I " 1,645.

С помощью встроенной функции Excel можно сразу найти квантиль уровня 0,95 стандартного нормального закона: t = = НОРМСТОБР(0,95) = 1,64485.

В примерах 3.1 и 3.3 мы уже находили математическое ожидание и дисперсию по отдельным рискам X,:

Теперь мы можем по (3.12) найти требуемое число договоров:

Итак, страховщик должен собрать не менее 440 таких договоров, чтобы при заданной надежности 1 – ε = 0,95 относительная рисковая надбавка не превышала 20%.

3.2.4. Моделирование совокупного убытка группы рисков в рамках индивидуальной модели

Главная актуарная задача – смоделировать совокупную функцию распределения – зная ее, мы знаем о совокупном ущербе по портфелю все и можем находить любые требуемые вероятности, рассчитывать тарифы и т.п.

Основная масса вероятностей в страховом портфеле сосредоточена в точке нулевого значения убытка по риску (Υ-, = 0), ведь практически во всех видах рискового страхования подавляющее большинство рисков (в отдельно взятом году) не порождает убытков[2]. Значит, распределение случайной величины У| далеко от нормального распределения.

С ростом количества независимых и одинаково распределенных рисков стандартизованный совокупный убыток (У – М(У))/о(У) согласно центральному предельному закону, действительно, становится все более похож на нормально распределенную величину (в смысле сходимости распределения). Но, ввиду крайней несимметричности распределения величины У,-, в большинстве групп рисков этот закон срабатывает только при очень большом количестве рисков.

Для получения приемлемой аппроксимации распределения совокупного убытка У малой (как это характерно для практики) группы рисков аппроксимируем распределение совокупного убытка У, отдельного риска i непрерывным распределением, допускающим явный расчет сверток. Для грубой аппроксимации распределения величины У, достаточно знать, что основная масса вероятностей находится в нуле. В последующем процессе свертки неточности аппроксимации довольно быстро нивелируется и достигаются очень близкие к реальности модели совокупного убытка (по крайней мере, для основной массы вероятностей).

Самым известным распределением на интервале (0; 00), позволяющим рассчитать свертки в явном виде, является гамма-распределение.

Гамма-распределение

Для моделирования распределения убытка в актуарных расчетах обычно используется не обычное гамма-распределение, а с параметризацией с участием математического ожидания μ[3].

Функция плотности вероятности такого распределения равна:

где а – параметр формы (а > 0).

Поскольку важно, чтобы аппроксимирующее распределение величины совокупного убытка имело как можно больший вероятностный вес вблизи нулевой точки, в актуарных расчетах при моделировании принимают в рассмотрение только гамма-распределение с параметром формы а < 1 (рис. 3.1).

Г(й) – гамма-функция Эйлера:

Гамма-функция обладает следующими свойствами:

  • 1) Γ(α+1) = аТ(а) для любых а > 0;
  • 2) если а – натуральное число, то: Г(а + 1) = а;
  • 3)

Основные характеристики гамма-распределения с параметризацией:

  • – математическое ожидание равно М(х) = μ;
  • – дисперсия ;
  • – коэффициент вариации
  • – коэффициент асимметрии

Оценки параметров методом моментов по выборочным данным находят как:

где – среднее арифметическое (выборочная средняя) ущерба;

– выборочная дисперсия ущерба.

Затем оценки желательно уточнить методом максимального правдоподобия[4].

Гамма-распределение может считаться вполне реалистичной моделью для совокупного и нормированного убытков группы одинаково распределенных независимых рисков.

К тому же гамма-распределение обладает выгодным свойством: сумма независимых гамма-распределенных рисков имеет гамма- распределение и в том случае, если параметры μ,• и д; не одинаковы

Плотность вероятности гамма-распределения в зависимости от параметра формы а

Рис. 3.1. Плотность вероятности гамма-распределения в зависимости от параметра формы а

для всех рисков, по постоянно их отношение μ(•/a-v Это дает возможность моделировать с помощью гамма-распределений совокупный убыток группы рисков с разными страховыми суммами.

Обратное гауссовское распределение

Обратное нормальное (гауссовское) распределение применяется для моделирования неотрицательных случайных величин, у которых правая сторона кривой распределения имеет более пологий вид, чем левая. В то время как нормальная случайная величина, может принимать и отрицательные значения.

В актуарных расчетах при моделировании убытка используют чаще обратное гауссовское распределение с параметризацией с участием математического ожидания μ, плотность вероятности которого имеет вид (рис. 3.2):

Случайная величина, распределенная по обратному гауссовскому закону, может принимать только положительные значения.

Параметр μ – это параметр положения, совпадающий с математическим ожиданием случайной величины так же, как и для нормального закона распределения.

Параметр а – это параметр формы, при увеличении которого (а-"+°°) кривая плотности обратного нормального распределения становится больше похожа на нормальное распределение. Поэтому в актуарных расчетах, как и в случае с гамма-распределением, используется а < 1.

Рис. 3.2. Плотность вероятности обратного гауссовского распределения

Основные характеристики обратного гауссовского распределения с параметризацией:

  • – математическое ожидание равно;
  • – дисперсия ;
  • – коэффициент вариации
  • – коэффициент асимметрии

Оценки параметров методом моментов определяются по формулам

Обратное гауссовское распределение также может считаться вполне реалистичной моделью для совокупного и нормированного убытков группы одинаково распределенных независимых рисков и во многом схоже с гамма-распределением.

Как и гамма-распределение, обратное гауссовское сохраняется в результате свертки даже тогда, когда параметры и , неодинаковы для всех рисков, но постоянно их отношение , потому также подходит для моделирования распределения совокупного убытка с разными страховыми суммами.

Одно из преимуществ по сравнению с гамма-распределением – возможность выражения функции распределения через стандартное нормальное распределение и его табулированную функцию распределения (приложение 1):

Логнормальное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет логарифмически нормальное (логнормальное) распределение с параметрами μ и σ, если ее логарифм подчинен нормальному закону, и функция плотности вероятностей имеет вид (рис. 3.3):

Логарифмически нормальная величина принимает только положительные значения.

Поскольку при неравенства и равносильны, то функция распределения логнормального распределения совпадет с функцией нормального распределения случайной величины In.к

где Ф(/) – функция распределения стандартной нормальной величины вида

Параметр μ – параметр масштаба. Если в нормальном законе распределения параметр μ выступает в качестве среднего значения случайной величины X, то в логнормальном – в качестве медианы случайной величины X.

Как и в случае нормального распределения, плотность вероятности логнормального распределения нельзя проинтегрировать для получения функции распределения вероятностей в явном виде. Однако значения интегральной функции логнормального распределения можно найти, используя значения интегральной функции стандартного нормального распределения (приложение 1).

Логнормальное распределение имеет крутой левый и пологий правый спуск, т.е. положительную асимметрию. При увеличении параметра μ кривая плотности распределения вероятности будет сдвигаться вправо, приближаясь к нормальной кривой.

Параметр σ – стандартное отклонение величины In.г – параметр формы. Чем меньше σ, тем асимметричнее кривая, поэ-

Плотность вероятности логнормального распределения

Рис. 3.3. Плотность вероятности логнормального распределения

тому в актуарных расчетах логнормальное распределение применимо, только если σ принимает небольшие значения, меньше параметра μ.

Основные количественные характеристики логнормальной величины:

  • – математическое ожидание равно ;
  • – дисперсия ;
  • – коэффициент вариации ;
  • – коэффициент асимметрии ;

Статистические оценки параметров т и σ логнормального распределения на основе данных выборки можно определить методом моментов:

Логнормальное распределение образуется в результате умножения большого количества независимых или слабо зависимых неотрицательных случайных величин, дисперсия каждой из которых мала по сравнению с дисперсией результата. В основе логарифмически-нормального распределения лежит мультипликативный процесс формирования случайных величин, т.е. такой, в котором действие каждого добавочного фактора на случайную величину пропорционально ее достигнутому уровню.

Логнормальное распределение не инвариантно относительно свертки в отличие от гамма-распределения и обратного гауссовского распределения и хорошо подходит для моделирования размера убытков в отдельном страховом случае[5].

  • [1] Вентцель E. С. Указ. соч. М.: КноРус, 2010; Мхитарян В. С. Теория вероятностей и математическая статистика.
  • [2] Мак Т. Математика рискового страхования: пер. с нем. М.: Олимп- Бизиес, 2005.
  • [3] Там же.
  • [4] Мак Т. Математика рискового страхования: пер. с нем. М.: Олимп- Бизнес, 2005.
  • [5] Мак Т. Указ. соч.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>