Полная версия

Главная arrow Страховое дело arrow Актуарные расчеты

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

3.3.1. Актуарные модели для распределения числа страховых случаев

Распределение количества страховых случаев (frequency claim distribution), наступающих в одном договоре страхования в течение срока действия страхового полиса, является дискретной случайной величиной, принимающей целочисленные неотрицательные значения 0; 1; 2; ... и т.д. – длина "правого хвоста" существенно зависит от вида страхования. И чем длиннее правый хвост распределения, тем более неоднородным является портфель (рис. 3.4).

Если известны фактические значения случайной величины, то на их основании можно вычислить выборочные оценки математического ожидания и дисперсии, а при необходимости и других моментов. Используя полученные величины, можно с требуемой точностью (надеж-

Пример гистограммы реального распределения числа страховых случаев (СС) в портфеле добровольного медицинского страхования

Рис. 3.4. Пример гистограммы реального распределения числа страховых случаев (СС) в портфеле добровольного медицинского страхования

ностью) аппроксимировать эмпирические вероятности с помощью теоретических законов распределения вероятностей.

Процесс анализа данных включает следующие этапы[1]:

  • • обработка и группировка первичной информации;
  • • оценка параметров законов распределения изучаемой дискретной случайной величины;
  • • построение различных теоретических распределений, аппроксимирующих изучаемое распределения числа страховых случаев;
  • • проверка статистической гипотезы о виде закона распределения и параметрах распределения;
  • • выбор наилучшего распределения.

Классическая актуарная модель поступления исков предполагает следующие допущения:

  • • анализируется фиксированный промежуток времени;
  • • число договоров п фиксировано и неслучайно;
  • • риски попарно независимы, т.е. наступление страхового случая по одному договору не влияет на наступление страховых случаев по другим договорам;
  • • договоры однородны, т.е. вероятность наступления страхового случая р одна и та же для всех договоров.

Последнее предположение часто нарушается на практике в реальных страховых портфелях и для этого используются более сложные актуарные модели в виде различных смешанных (составных) распределений.

Для начала рассмотрим простые базовые распределения, пригодные для однородных портфелей с небольшим правым хвостом.

Пуассоновское распределение

Закон Пуассона используется, если вероятность появления события в каждом договоре мала, а количество договоров велико (закон редких событий) и является приближением биномиального распределения при . Страховые случаи наступают независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью.

Пуассоновское распределение вообще играет ведущую роль в геме моделирования распределения числа страховых случаев, так как если оно не используется непосредственно, то служит основой для построения смешанных пуассоновских распределений.

При моделировании количества страховых случаев пуассоновское распределение может применяться для однородного портфеля в том случае, если по договору может быть предъявлено несколько исков (не одновременно), – в имущественном, автомобильном, медицинском страховании.

Дискретная случайная величина К – число страховых исков в заданный год или в отдельном договоре страхования имеет распределение Пуассона, если вероятность наступления k страховых случаев в одном договоре страхования вычисляется по формуле

(3.13)

Значения вероятностей представлены в приложении 3. Параметр называют интенсивностью, он равен количеству наблюдений случайной величины, умноженному на вероятность успеха в одном испытании:

Числовые характеристики распределения Пуассона:

Отсюда вытекает основное требование при использовании закона Пуассона: выборочные математическое ожидание и дисперсия числа страховых случаев должны быть приблизительно равны.

Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения при . Отсюда следует, что распределение Пуассона с параметром λ=ηρ можно применять вместо биномиального, когда число опытов п достаточно велико, а вероятность р – достаточно мала, т.е. в каждом отдельном опыте интересующее событие происходит крайне редко.

Статистическая оценка параметра распределения Пуассона λ как по методу моментов, так и по методу максимального правдоподобия, по выборке находится как среднее арифметическое по формуле

(3.14)

ПРИМЕР 3.6

По исследуемому портфелю договоров страхования граждан, выезжающих в туристические поездки за рубеж, за 2007 г. поступили иски в связи со страховыми случаями по 186 полисам из 29 382. Число страховых случаев, произошедших с одним застрахованным лицом, варьируется от 0 до 2:

Эмпирические частоты числа страховых случаев на один страховой полис

Число страховых случаев k

Число договоров с к случаями (эмпирические частоты) mk

0

29 196

1

184

2

2

Требуется смоделировать распределение числа страховых случаев в одном договоре с помощью распределения Пуассона и проверить его соответствие с помощью критерия согласия Пирсона на уровне значимости 0,05.

Решение

По результатам расчетов оценок параметров распределения случайной величины к – числа страховых случаев в одном договоре – были найдены следующие показатели.

Выборочная средняя:

Среднее число страховых случаев, наступающих в одном договоре страхования за рубеж, составляет по исследуемому портфелю 0,0064. Таким крайне низким значением среднего числа исков, кстати, объясняются столько низкие страховые тарифы для выезжающих за рубеж.

Выборочная дисперсия:

В исследуемом портфеле вероятность наступления страхового случая достаточно мала (т/п = 186/29 382 = 0,0064), поэтому для анализа можно применять распределение Пуассона. Статистическая оценка параметра распределения Пуассона была найдена по формуле (3.14):

Результаты аппроксимации числа страховых случаев по портфелю договоров на основе распределения Пуассона приведены в таблице:

Число страховых случаев k

Эмпирические

Теоретические

частоты mk

вероятности Рьт

частоты mkr

0

29 196

0,99362

29 195

1

184

0,00635

185

2

2

0,0000523

2

η

29 382

1

29 382

Значения теоретических вероятностей могут быть рассчитаны по формуле (3.13) или получены с применением функции Пуассона (ПУАССОН (к; к 0) в MS Excel. Затем рассчитаны теоретические частоты по формуле пуассоновского распределения:

(3.15)

С помощью критерия согласия Пирсона χ2 проверяется адекватность модели па уровне значимости а = 0,05. Результаты вычислений χ2 – наблюдаемого представлены в таблице.

Расчет статистики критерия Пирсона для распределения Пуассона

Число страховых случаев k

Эмпирические частоты тк

Теоретические частоты ткТ

0

29196

29195

0,9039

1

184

186

2,2528

2

2

1

0.6074

Сумма х2набл

3,7641

Значение , а критическое значение статистики можно найти по таблицам распределений Пирсона (приложение 4), либо с помощью функции ХИ20БР в MS Excel. Распределение Пуассона имеет один параметр, оцениваемый по выборке (объединять интервалы не стали, чтобы не обнулить число степеней свободы), поэтому

В рассматриваемом случае, следовательно, гипотеза о том, что число страховых случаев распределено по пуассоновскому распределению не отвергается на уровне значимости а = 0,05, модель является адекватной для моделирования числа страховых случаев в данном портфеле.

Необходимо заметить, что распределение Пуассона подошло в качестве модели числа страховых случаев, наступающих в одном договоре страхования выезжающих за рубеж (что на практике случается редко), так как эмпирическое распределение имеет очень короткий правый хвост – случайная величина К принимает всего три значения – 0, 1 и 2. И поэтому оказалось, что среднее и выборочная дисперсия исследуемого распределения примерно равны. Это и привело к полученному результату.

Отрицательное биномиальное распределение

Случайная величина К имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами (г, р), если в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха р и вероятностью неудачи q = 1 – р вероятность числа неудач k, происшедших до r-го успеха, определяется по формуле

(3.16)

где r – число успехов, целое положительное число; k – число неудач, происшедших до числа успехов r.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей отрицательное биномиальное распределение, равны:

(3.17)

Для применения отрицательного биномиального распределения дисперсия числа страховых случаев должна быть больше, чем математическое ожидание, поэтому его применение в страховании во многих случаях дает наиболее адекватный результат. Применяется, например, при моделировании распределения количества страховых случаев индивидуального страхователя для неоднородного портфеля договоров.

Если оценка дисперсии по статистическим данным больше оценки математического ожидания, то методом моментов можно найти оценки параметров р и r.

(3.18)

Отсюда и вытекает ограничение на использование отрицательного биномиального распределения: так как вероятность не может быть больше 1, математическое ожидание ущерба не должно превышать дисперсию.

Такая ситуация очень часто встречается на практике в неоднородных портфелях с длинным правым хвостом (в страховании ДМС, КАСКО и др.), поэтому его применение в страховании во многих случаях дает наиболее адекватный результат.

Геометрическое распределение

Дискретная случайная величина К имеет геометрическое распределение с параметром р, если она принимает значения (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

Вероятности представляют собой геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q, отсюда и название "геометрическое распределение".

На практике случайная величина, имеющая геометрическое распределение, представляет собой количество k испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью р наступления события в каждом испытании, до появления первого успеха, т.е. количество неудач до появления первого положительного исхода.

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины, распределенной по геометрическому закону, определяются по формулам

Статистическая оценка параметра р по выборке равна:

Геометрическое распределение является частным случаем отрицательного биномиального распределения (при r = 1). Поэтому оно применимо тогда, когда оценка параметра r близка к 1 и вероятность р оказывается в допустимых пределах.

  • [1] Миронкина Ю. Н., Скорик Μ. Л. К вопросу статистического исследования риска в автотранспортном страховании // Экономика, статистика и информатика. Вестник УМО. 2007. №4. С. 60–67.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>