Полная версия

Главная arrow Страховое дело arrow Актуарные расчеты

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

4.6.4. Мультипликативные методы расчета РПНУ

Мультипликативные методы[1] базируются на следующих предпосылках:

  • 1) величины– размеры выплат в финансовом периоде с номером j по страховым случаям, произошедшим в период с номером i, – являются независимыми случайными величинами (не совокупные, накопленные ^ (обозначаем с использованием заглавной буквы), а сделанные в конкретном году уу (обозначаем с использованием строчной буквы));
  • 2) величина может быть представлена в мультипликативном виде:

(4.13)

где – общая стоимость страховых выплат, произошедших в периоде с номером i, выраженная в постоянных денежных единицах; – доля суммы ,г;, выплаченной в течение финансового года с номером – мера инфляции и влияния внешних факторов на размер выплат в периоде с номером ().

Оценка параметров такой модели может быть произведена с помощью метода наименьших квадратов, который заключается в минимизации следующего выражения:

где– произвольные веса, можно выбрать их равными 1, а можно с их помощью учитывать степень важности, актуальности, надежности имеющихся данных.

Суммирование происходит по всем элементам треугольника развития.

Рассматривая модель без инфляции:

(4.14)

и приравнивая нулю частные производные поиполучаем систему:

(4.15)

(4.16)

Ее можно решить, используя метод последовательного приближения.

Выбрав в качестве начальных значений некоторые вероятности, по представленным выше формулам (4.15) и (4.16) итеративно рассчитываютсяии, как правило, процесс сходится весьма быстро, после нескольких итераций, в результате чего по полученным оценкамиможно рассчитать оценки будущих выплат согласно формуле модели (4.14):

Затем достраивается матрица выплат страховой компании и по формулам (4.12) и (4.6) рассчитываются резервы для обеспечения будущих выплат.

Одним из достоинств метода является то, что не обязательно располагать всей информацией, входящий в треугольник развития. Если, например, политика урегулирования убытков, проводимая страховой компанией, внезапно меняется в течение одного года, то можно игнорировать предыдущую информацию и анализировать треугольник, исключая его первые диагонали. Мультипликативный метод имеет преимущество в том, что для оценки факторов инфляции он использует всю информацию. Получаемые таким образом результаты оказываются более устойчивыми но отношению к малым колебаниям наблюдаемых величин.

Недостатки метода заключаются в том, что решение может быть не единственным, а также в большом количестве параметров, которые требуется оценить.

Мультипликативная модель и модель цепной лестницы связаны между собой следующим соотношением:

где

Величинаявляется общей стоимостью страховых выплат, произошедших в период с номером i, а размер, называемый фактором задержки, является долей тех выплат, которые произведены после первых j периодов платежа.

Мультипликативная модель с постоянной инфляцией записывается в виде

где– общая стоимость страховых выплат для периода с номером г в текущей цене денег; ее доля, выплаченная после j-го периода платежа.

Полагая

получаем

Оба метода дают близкие значения резервов, получаемые с их использованием. Мультипликативные методы имеют преимущество в том, что они используют для оценки факторов инфляции всю информацию, и получаемые с их помощью результаты оказываются более устойчивыми по отношению к малым колебаниям наблюдаемых величин.

Метод отделения Тейлора

Еще одной разновидностью мультипликативного метода является метод отделения[2], использующий треугольник не с элементами, а с элементами

где– общее число страховых слкчаев в i-м периоде;– средние выплаты на один страховой случай в j-м периоде по убыткам i-го периода.

Модель (4.13) записывается следующим образом:

(4.17)

Метод Тейлора использует следующую технику оценивания параметров (табл. 4.12). Пусть величина– сумма выражений, стоящих по некоторой диагонали, т.е. все суммы , выплаченные в течение календарного периода с номером к

(4.18)

Таблица 4.12

Треугольник выбывания метода Тейлора

Периоды наступления убытков, i

Периоды оплаты убытков, j

1

2

3

N

1

2

3

N

Размер – сумма значений , входящих в столбец с номером :

(4.19)

Тогда получаем

(4.20)

Так как по определению, получаем

Учитывая, что, получаем:

Далее находим:

В итоге получим:

(4.21)

(4.22)

Это дает возможность по (4.17) подсчитать нижний треугольник:

Обычно требуется оценить влияние будущей инфляции и найти оценкис использованием какого-либо метода прогнозирования. Как правило, зачастую вполне оправдывает себя простой линейный тренд.

Достроив матрицу средних выплат на один страховой случай в j-м году по убыткам г-го года оценками (4.17) и полагая, что сумма выплат, которые должны быть сделаны начиная с (N+ 1)-го периода и до полного урегулирования убытков г-го периода, оцениваем эти величины с помощью формул:

  • для 1-го года; (4.23)
  • в последующие годы. (4.24)

Следовательно,

(4.25)

является оценкой для , и метод завершается так же, как и метод цепной лестницы – по формуле (4.11) рассчитываются ожидаемые совокупные выплаты по убыткам каждого года:

(4.26)

Затем по формуле (4.12) оцениваем резервы убытков к концу каждого г-го периода:

И наконец, находим оценку общего РПНУ по формуле (4.6):

  • [1] Лемер Ж. Указ. соч. С. 224–229.
  • [2] Лемер Ж. Указ. соч. С. 237–250.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>